Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27442 / 9394
↖ ↑ ↗
← N 77.858034°
W 29.256592°		 ← 128.47 m → N 77.858034°
W 29.251099°		 →
↑
128.44 m
↓
↑
128.44 m
↓
N 77.856879°
W 29.256592°		 ← 128.48 m →
16 501 m²		 N 77.856879°
W 29.251099°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27442 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418739318847656 y=0.143348693847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418739318847656 × 216)
    floor (0.418739318847656 × 65536)
    floor (27442.5)     		tx = 27442
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143348693847656 × 216)
    floor (0.143348693847656 × 65536)
    floor (9394.5)     		ty = 9394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27442 / 9394 ti = "16/27442/9394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27442/9394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27442 ÷ 216
    27442 ÷ 65536     		x = 0.418731689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9394 ÷ 216
    9394 ÷ 65536     		y = 0.143341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418731689453125 × 2 - 1) × π
    -0.16253662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51062385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143341064453125 × 2 - 1) × π
    0.71331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24095418343839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51062385} λ = -0.51062385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24095418343839))-π/2
    2×atan(9.40229852610347)-π/2
    2×1.46483768467909-π/2
    2.92967536935818-1.57079632675     		φ = 1.35887904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51062385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.256592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35887904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.858034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27442 KachelY 9394 -0.51062385 1.35887904 -29.256592 77.858034
    Oben rechts KachelX + 1 27443 KachelY 9394 -0.51052798 1.35887904 -29.251099 77.858034
    Unten links KachelX 27442 KachelY + 1 9395 -0.51062385 1.35885888 -29.256592 77.856879
    Unten rechts KachelX + 1 27443 KachelY + 1 9395 -0.51052798 1.35885888 -29.251099 77.856879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35887904-1.35885888) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dl = 128.439359998884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35887904-1.35885888) × R
    2.01599999998248e-05 × 6371000     		dr = 128.439359998884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51062385--0.51052798) × cos(1.35887904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210334681307057 × 6371000     		do = 128.469850949195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51062385--0.51052798) × cos(1.35885888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.210354390273822 × 6371000     		du = 128.481888945055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35887904)-sin(1.35885888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210334681307057-0.210354390273822)×R²
    abs(-0.51052798--0.51062385)×1.97089667650086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97089667650086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97089667650086e-05×40589641000000     		ar = 16501.3585120691m²