Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27441 / 6096
↖ ↑ ↗
← N 81.133945°
W 29.262085°		 ← 94.15 m → N 81.133945°
W 29.256592°		 →
↑
94.10 m
↓
↑
94.10 m
↓
N 81.133098°
W 29.262085°		 ← 94.16 m →
8 860 m²		 N 81.133098°
W 29.256592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418724060058594 y=0.0930252075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418724060058594 × 216)
    floor (0.418724060058594 × 65536)
    floor (27441.5)     		tx = 27441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0930252075195312 × 216)
    floor (0.0930252075195312 × 65536)
    floor (6096.5)     		ty = 6096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27441 / 6096 ti = "16/27441/6096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27441/6096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27441 ÷ 216
    27441 ÷ 65536     		x = 0.418716430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6096 ÷ 216
    6096 ÷ 65536     		y = 0.093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418716430664062 × 2 - 1) × π
    -0.162567138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51071973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093017578125 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55714597333228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51071973} λ = -0.51071973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55714597333228))-π/2
    2×atan(12.8989507820152)-π/2
    2×1.49342539950467-π/2
    2.98685079900934-1.57079632675     		φ = 1.41605447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51071973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.262085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41605447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.133945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27441 KachelY 6096 -0.51071973 1.41605447 -29.262085 81.133945
    Oben rechts KachelX + 1 27442 KachelY 6096 -0.51062385 1.41605447 -29.256592 81.133945
    Unten links KachelX 27441 KachelY + 1 6097 -0.51071973 1.41603970 -29.262085 81.133098
    Unten rechts KachelX + 1 27442 KachelY + 1 6097 -0.51062385 1.41603970 -29.256592 81.133098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41605447-1.41603970) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dl = 94.099669999629m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41605447-1.41603970) × R
    1.47699999999418e-05 × 6371000     		dr = 94.099669999629m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51071973--0.51062385) × cos(1.41605447) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.154125045686959 × 6371000     		do = 94.1475122629938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51071973--0.51062385) × cos(1.41603970) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.154139639188587 × 6371000     		du = 94.1564267250616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41605447)-sin(1.41603970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154125045686959-0.154139639188587)×R²
    abs(-0.51062385--0.51071973)×1.45935016279131e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.45935016279131e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.45935016279131e-05×40589641000000     		ar = 8859.66925946734m²