Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27441 / 21497
↖ ↑ ↗
← N 52.506192°
W 29.262085°		 ← 371.81 m → N 52.506192°
W 29.256592°		 →
↑
371.81 m
↓
↑
371.81 m
↓
N 52.502848°
W 29.262085°		 ← 371.84 m →
138 249 m²		 N 52.502848°
W 29.256592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418724060058594 y=0.328025817871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418724060058594 × 216)
    floor (0.418724060058594 × 65536)
    floor (27441.5)     		tx = 27441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328025817871094 × 216)
    floor (0.328025817871094 × 65536)
    floor (21497.5)     		ty = 21497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27441 / 21497 ti = "16/27441/21497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27441/21497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27441 ÷ 216
    27441 ÷ 65536     		x = 0.418716430664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21497 ÷ 216
    21497 ÷ 65536     		y = 0.328018188476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418716430664062 × 2 - 1) × π
    -0.162567138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51071973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328018188476562 × 2 - 1) × π
    0.343963623046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08059359123531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51071973} λ = -0.51071973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08059359123531))-π/2
    2×atan(2.94642800592022)-π/2
    2×1.24360112168837-π/2
    2.48720224337674-1.57079632675     		φ = 0.91640592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51071973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.262085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91640592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.506192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27441 KachelY 21497 -0.51071973 0.91640592 -29.262085 52.506192
    Oben rechts KachelX + 1 27442 KachelY 21497 -0.51062385 0.91640592 -29.256592 52.506192
    Unten links KachelX 27441 KachelY + 1 21498 -0.51071973 0.91634756 -29.262085 52.502848
    Unten rechts KachelX + 1 27442 KachelY + 1 21498 -0.51062385 0.91634756 -29.256592 52.502848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91640592-0.91634756) × R
    5.83600000000351e-05 × 6371000     		dl = 371.811560000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91640592-0.91634756) × R
    5.83600000000351e-05 × 6371000     		dr = 371.811560000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51071973--0.51062385) × cos(0.91640592) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.608675693548099 × 6371000     		do = 371.81044824407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51071973--0.51062385) × cos(0.91634756) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.608721996451379 × 6371000     		du = 371.838732441066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91640592)-sin(0.91634756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608675693548099-0.608721996451379)×R²
    abs(-0.51062385--0.51071973)×4.63029032796713e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.63029032796713e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.63029032796713e-05×40589641000000     		ar = 138248.681021204m²