Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27440 / 7159
↖ ↑ ↗
← N 80.187143°
W 29.267578°		 ← 104.10 m → N 80.187143°
W 29.262085°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 80.186207°
W 29.267578°		 ← 104.11 m →
10 837 m²		 N 80.186207°
W 29.262085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418708801269531 y=0.109245300292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418708801269531 × 216)
    floor (0.418708801269531 × 65536)
    floor (27440.5)     		tx = 27440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109245300292969 × 216)
    floor (0.109245300292969 × 65536)
    floor (7159.5)     		ty = 7159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27440 / 7159 ti = "16/27440/7159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27440/7159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27440 ÷ 216
    27440 ÷ 65536     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7159 ÷ 216
    7159 ÷ 65536     		y = 0.109237670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109237670898438 × 2 - 1) × π
    0.781524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45523212474004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45523212474004))-π/2
    2×atan(11.6491372880296)-π/2
    2×1.4851629941593-π/2
    2.97032598831859-1.57079632675     		φ = 1.39952966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39952966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.187143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27440 KachelY 7159 -0.51081560 1.39952966 -29.267578 80.187143
    Oben rechts KachelX + 1 27441 KachelY 7159 -0.51071973 1.39952966 -29.262085 80.187143
    Unten links KachelX 27440 KachelY + 1 7160 -0.51081560 1.39951332 -29.267578 80.186207
    Unten rechts KachelX + 1 27441 KachelY + 1 7160 -0.51071973 1.39951332 -29.262085 80.186207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39952966-1.39951332) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39952966-1.39951332) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51071973) × cos(1.39952966) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170430620509113 × 6371000     		do = 104.096938640475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51071973) × cos(1.39951332) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17044672142691 × 6371000     		du = 104.106772884151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39952966)-sin(1.39951332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170430620509113-0.17044672142691)×R²
    abs(-0.51071973--0.51081560)×1.61009177961913e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61009177961913e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61009177961913e-05×40589641000000     		ar = 10837.2259633485m²