Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27440 / 21494
↖ ↑ ↗
← N 52.516221°
W 29.267578°		 ← 371.69 m → N 52.516221°
W 29.262085°		 →
↑
371.68 m
↓
↑
371.68 m
↓
N 52.512878°
W 29.267578°		 ← 371.72 m →
138 155 m²		 N 52.512878°
W 29.262085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418708801269531 y=0.327980041503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418708801269531 × 216)
    floor (0.418708801269531 × 65536)
    floor (27440.5)     		tx = 27440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327980041503906 × 216)
    floor (0.327980041503906 × 65536)
    floor (21494.5)     		ty = 21494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27440 / 21494 ti = "16/27440/21494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27440/21494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27440 ÷ 216
    27440 ÷ 65536     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21494 ÷ 216
    21494 ÷ 65536     		y = 0.327972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327972412109375 × 2 - 1) × π
    0.34405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08088121263303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08088121263303))-π/2
    2×atan(2.94727558354645)-π/2
    2×1.24368864577811-π/2
    2.48737729155623-1.57079632675     		φ = 0.91658096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91658096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.516221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27440 KachelY 21494 -0.51081560 0.91658096 -29.267578 52.516221
    Oben rechts KachelX + 1 27441 KachelY 21494 -0.51071973 0.91658096 -29.262085 52.516221
    Unten links KachelX 27440 KachelY + 1 21495 -0.51081560 0.91652262 -29.267578 52.512878
    Unten rechts KachelX + 1 27441 KachelY + 1 21495 -0.51071973 0.91652262 -29.262085 52.512878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91658096-0.91652262) × R
    5.83400000000456e-05 × 6371000     		dl = 371.68414000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91658096-0.91652262) × R
    5.83400000000456e-05 × 6371000     		dr = 371.68414000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51071973) × cos(0.91658096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608536804141425 × 6371000     		do = 371.686837564459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51071973) × cos(0.91652262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.608583097392254 × 6371000     		du = 371.7151129159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91658096)-sin(0.91652262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608536804141425-0.608583097392254)×R²
    abs(-0.51071973--0.51081560)×4.62932508296099e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62932508296099e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62932508296099e-05×40589641000000     		ar = 138155.357358355m²