Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27440 / 21323
↖ ↑ ↗
← N 53.084127°
W 29.267578°		 ← 366.86 m → N 53.084127°
W 29.262085°		 →
↑
366.91 m
↓
↑
366.91 m
↓
N 53.080828°
W 29.267578°		 ← 366.89 m →
134 610 m²		 N 53.080828°
W 29.262085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27440 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418708801269531 y=0.325370788574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418708801269531 × 216)
    floor (0.418708801269531 × 65536)
    floor (27440.5)     		tx = 27440
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325370788574219 × 216)
    floor (0.325370788574219 × 65536)
    floor (21323.5)     		ty = 21323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27440 / 21323 ti = "16/27440/21323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27440/21323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27440 ÷ 216
    27440 ÷ 65536     		x = 0.418701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21323 ÷ 216
    21323 ÷ 65536     		y = 0.325363159179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418701171875 × 2 - 1) × π
    -0.16259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51081560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325363159179688 × 2 - 1) × π
    0.349273681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09727563230309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51081560} λ = -0.51081560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09727563230309))-π/2
    2×atan(2.99599270968661)-π/2
    2×1.24864456105732-π/2
    2.49728912211464-1.57079632675     		φ = 0.92649280
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51081560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.267578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92649280 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.084127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27440 KachelY 21323 -0.51081560 0.92649280 -29.267578 53.084127
    Oben rechts KachelX + 1 27441 KachelY 21323 -0.51071973 0.92649280 -29.262085 53.084127
    Unten links KachelX 27440 KachelY + 1 21324 -0.51081560 0.92643521 -29.267578 53.080828
    Unten rechts KachelX + 1 27441 KachelY + 1 21324 -0.51071973 0.92643521 -29.262085 53.080828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92649280-0.92643521) × R
    5.75900000000518e-05 × 6371000     		dl = 366.90589000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92649280-0.92643521) × R
    5.75900000000518e-05 × 6371000     		dr = 366.90589000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51081560--0.51071973) × cos(0.92649280) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600641741170018 × 6371000     		do = 366.864629658144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51081560--0.51071973) × cos(0.92643521) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600687784432365 × 6371000     		du = 366.892752319677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92649280)-sin(0.92643521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600641741170018-0.600687784432365)×R²
    abs(-0.51071973--0.51081560)×4.60432623470286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60432623470286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60432623470286e-05×40589641000000     		ar = 134609.952676544m²