Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27439 / 8423
↖ ↑ ↗
← N 78.930328°
W 29.273072°		 ← 117.29 m → N 78.930328°
W 29.267578°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
N 78.929273°
W 29.273072°		 ← 117.30 m →
13 757 m²		 N 78.929273°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418693542480469 y=0.128532409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418693542480469 × 216)
    floor (0.418693542480469 × 65536)
    floor (27439.5)     		tx = 27439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128532409667969 × 216)
    floor (0.128532409667969 × 65536)
    floor (8423.5)     		ty = 8423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27439 / 8423 ti = "16/27439/8423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27439/8423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27439 ÷ 216
    27439 ÷ 65536     		x = 0.418685913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8423 ÷ 216
    8423 ÷ 65536     		y = 0.128524780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418685913085938 × 2 - 1) × π
    -0.162628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51091148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128524780273438 × 2 - 1) × π
    0.742950439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33404764250053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51091148} λ = -0.51091148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33404764250053))-π/2
    2×atan(10.3196272735853)-π/2
    2×1.47419521465474-π/2
    2.94839042930947-1.57079632675     		φ = 1.37759410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51091148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.273072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37759410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.930328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27439 KachelY 8423 -0.51091148 1.37759410 -29.273072 78.930328
    Oben rechts KachelX + 1 27440 KachelY 8423 -0.51081560 1.37759410 -29.267578 78.930328
    Unten links KachelX 27439 KachelY + 1 8424 -0.51091148 1.37757569 -29.273072 78.929273
    Unten rechts KachelX + 1 27440 KachelY + 1 8424 -0.51081560 1.37757569 -29.267578 78.929273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37759410-1.37757569) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37759410-1.37757569) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51091148--0.51081560) × cos(1.37759410) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192002521573698 × 6371000     		do = 117.285024466949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51091148--0.51081560) × cos(1.37757569) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.192020589012658 × 6371000     		du = 117.296060988777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37759410)-sin(1.37757569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192002521573698-0.192020589012658)×R²
    abs(-0.51081560--0.51091148)×1.80674389597402e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80674389597402e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80674389597402e-05×40589641000000     		ar = 13757.020659045m²