Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27439 / 8421
↖ ↑ ↗
← N 78.932437°
W 29.273072°		 ← 117.26 m → N 78.932437°
W 29.267578°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
N 78.931383°
W 29.273072°		 ← 117.27 m →
13 754 m²		 N 78.931383°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418693542480469 y=0.128501892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418693542480469 × 216)
    floor (0.418693542480469 × 65536)
    floor (27439.5)     		tx = 27439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128501892089844 × 216)
    floor (0.128501892089844 × 65536)
    floor (8421.5)     		ty = 8421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27439 / 8421 ti = "16/27439/8421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27439/8421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27439 ÷ 216
    27439 ÷ 65536     		x = 0.418685913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8421 ÷ 216
    8421 ÷ 65536     		y = 0.128494262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418685913085938 × 2 - 1) × π
    -0.162628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51091148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128494262695312 × 2 - 1) × π
    0.743011474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33423939009901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51091148} λ = -0.51091148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33423939009901))-π/2
    2×atan(10.3216062270559)-π/2
    2×1.4742136209338-π/2
    2.9484272418676-1.57079632675     		φ = 1.37763092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51091148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.273072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37763092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.932437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27439 KachelY 8421 -0.51091148 1.37763092 -29.273072 78.932437
    Oben rechts KachelX + 1 27440 KachelY 8421 -0.51081560 1.37763092 -29.267578 78.932437
    Unten links KachelX 27439 KachelY + 1 8422 -0.51091148 1.37761251 -29.273072 78.931383
    Unten rechts KachelX + 1 27440 KachelY + 1 8422 -0.51081560 1.37761251 -29.267578 78.931383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37763092-1.37761251) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37763092-1.37761251) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51091148--0.51081560) × cos(1.37763092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19196638650056 × 6371000     		do = 117.262951304042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51091148--0.51081560) × cos(1.37761251) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191984454069664 × 6371000     		du = 117.273987905369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37763092)-sin(1.37761251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19196638650056-0.191984454069664)×R²
    abs(-0.51081560--0.51091148)×1.80675691037191e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80675691037191e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80675691037191e-05×40589641000000     		ar = 13754.4316998974m²