Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27439 / 6097
↖ ↑ ↗
← N 81.133098°
W 29.273072°		 ← 94.16 m → N 81.133098°
W 29.267578°		 →
↑
94.16 m
↓
↑
94.16 m
↓
N 81.132252°
W 29.273072°		 ← 94.17 m →
8 867 m²		 N 81.132252°
W 29.267578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27439 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418693542480469 y=0.0930404663085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418693542480469 × 216)
    floor (0.418693542480469 × 65536)
    floor (27439.5)     		tx = 27439
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0930404663085938 × 216)
    floor (0.0930404663085938 × 65536)
    floor (6097.5)     		ty = 6097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27439 / 6097 ti = "16/27439/6097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27439/6097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27439 ÷ 216
    27439 ÷ 65536     		x = 0.418685913085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6097 ÷ 216
    6097 ÷ 65536     		y = 0.0930328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418685913085938 × 2 - 1) × π
    -0.162628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51091148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0930328369140625 × 2 - 1) × π
    0.813934326171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55705009953304
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51091148} λ = -0.51091148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55705009953304))-π/2
    2×atan(12.8977141698778)-π/2
    2×1.49341801087798-π/2
    2.98683602175596-1.57079632675     		φ = 1.41603970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51091148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.273072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41603970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.133098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27439 KachelY 6097 -0.51091148 1.41603970 -29.273072 81.133098
    Oben rechts KachelX + 1 27440 KachelY 6097 -0.51081560 1.41603970 -29.267578 81.133098
    Unten links KachelX 27439 KachelY + 1 6098 -0.51091148 1.41602492 -29.273072 81.132252
    Unten rechts KachelX + 1 27440 KachelY + 1 6098 -0.51081560 1.41602492 -29.267578 81.132252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41603970-1.41602492) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dl = 94.1633800006565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41603970-1.41602492) × R
    1.4780000000103e-05 × 6371000     		dr = 94.1633800006565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51091148--0.51081560) × cos(1.41603970) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154139639188587 × 6371000     		do = 94.1564267249526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51091148--0.51081560) × cos(1.41602492) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.154154242537057 × 6371000     		du = 94.1653472019785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41603970)-sin(1.41602492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154139639188587-0.154154242537057)×R²
    abs(-0.51081560--0.51091148)×1.46033484700325e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.46033484700325e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.46033484700325e-05×40589641000000     		ar = 8866.50738048785m²