Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27438 / 21326
↖ ↑ ↗
← N 53.074228°
W 29.278564°		 ← 366.95 m → N 53.074228°
W 29.273072°		 →
↑
366.97 m
↓
↑
366.97 m
↓
N 53.070927°
W 29.278564°		 ← 366.98 m →
134 664 m²		 N 53.070927°
W 29.273072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418678283691406 y=0.325416564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418678283691406 × 216)
    floor (0.418678283691406 × 65536)
    floor (27438.5)     		tx = 27438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325416564941406 × 216)
    floor (0.325416564941406 × 65536)
    floor (21326.5)     		ty = 21326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27438 / 21326 ti = "16/27438/21326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27438/21326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27438 ÷ 216
    27438 ÷ 65536     		x = 0.418670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21326 ÷ 216
    21326 ÷ 65536     		y = 0.325408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.16265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51100735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325408935546875 × 2 - 1) × π
    0.34918212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09698801090536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51100735} λ = -0.51100735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09698801090536))-π/2
    2×atan(2.99513112198736)-π/2
    2×1.24855817241613-π/2
    2.49711634483226-1.57079632675     		φ = 0.92632002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51100735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.278564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92632002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.074228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27438 KachelY 21326 -0.51100735 0.92632002 -29.278564 53.074228
    Oben rechts KachelX + 1 27439 KachelY 21326 -0.51091148 0.92632002 -29.273072 53.074228
    Unten links KachelX 27438 KachelY + 1 21327 -0.51100735 0.92626242 -29.278564 53.070927
    Unten rechts KachelX + 1 27439 KachelY + 1 21327 -0.51091148 0.92626242 -29.273072 53.070927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92632002-0.92626242) × R
    5.7599999999991e-05 × 6371000     		dl = 366.969599999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92632002-0.92626242) × R
    5.7599999999991e-05 × 6371000     		dr = 366.969599999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51100735--0.51091148) × cos(0.92632002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600779872974313 × 6371000     		do = 366.948998874856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51100735--0.51091148) × cos(0.92626242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.600825918252917 × 6371000     		du = 366.977122767893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92632002)-sin(0.92626242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600779872974313-0.600825918252917)×R²
    abs(-0.51091148--0.51100735)×4.60452786039678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60452786039678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60452786039678e-05×40589641000000     		ar = 134664.287681831m²