Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27436 / 21329
↖ ↑ ↗
← N 53.064326°
W 29.289551°		 ← 367.07 m → N 53.064326°
W 29.284057°		 →
↑
367.03 m
↓
↑
367.03 m
↓
N 53.061025°
W 29.289551°		 ← 367.10 m →
134 733 m²		 N 53.061025°
W 29.284057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418647766113281 y=0.325462341308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418647766113281 × 216)
    floor (0.418647766113281 × 65536)
    floor (27436.5)     		tx = 27436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325462341308594 × 216)
    floor (0.325462341308594 × 65536)
    floor (21329.5)     		ty = 21329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27436 / 21329 ti = "16/27436/21329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27436/21329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27436 ÷ 216
    27436 ÷ 65536     		x = 0.41864013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21329 ÷ 216
    21329 ÷ 65536     		y = 0.325454711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41864013671875 × 2 - 1) × π
    -0.1627197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51119910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325454711914062 × 2 - 1) × π
    0.349090576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.09670038950764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51119910} λ = -0.51119910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09670038950764))-π/2
    2×atan(2.99426978206354)-π/2
    2×1.24847176390942-π/2
    2.49694352781884-1.57079632675     		φ = 0.92614720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51119910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.289551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92614720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.064326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27436 KachelY 21329 -0.51119910 0.92614720 -29.289551 53.064326
    Oben rechts KachelX + 1 27437 KachelY 21329 -0.51110322 0.92614720 -29.284057 53.064326
    Unten links KachelX 27436 KachelY + 1 21330 -0.51119910 0.92608959 -29.289551 53.061025
    Unten rechts KachelX + 1 27437 KachelY + 1 21330 -0.51110322 0.92608959 -29.284057 53.061025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92614720-0.92608959) × R
    5.76099999999302e-05 × 6371000     		dl = 367.033309999555m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92614720-0.92608959) × R
    5.76099999999302e-05 × 6371000     		dr = 367.033309999555m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51119910--0.51110322) × cos(0.92614720) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.600918018815997 × 6371000     		do = 367.071661152604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51119910--0.51110322) × cos(0.92608959) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.600964066106022 × 6371000     		du = 367.099789207866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92614720)-sin(0.92608959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600918018815997-0.600964066106022)×R²
    abs(-0.51110322--0.51119910)×4.60472900251085e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.60472900251085e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.60472900251085e-05×40589641000000     		ar = 134732.688803608m²