Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27435 / 8819
↖ ↑ ↗
← N 78.504791°
W 29.295044°		 ← 121.72 m → N 78.504791°
W 29.289551°		 →
↑
121.75 m
↓
↑
121.75 m
↓
N 78.503697°
W 29.295044°		 ← 121.73 m →
14 820 m²		 N 78.503697°
W 29.289551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27435 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418632507324219 y=0.134574890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418632507324219 × 216)
    floor (0.418632507324219 × 65536)
    floor (27435.5)     		tx = 27435
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134574890136719 × 216)
    floor (0.134574890136719 × 65536)
    floor (8819.5)     		ty = 8819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27435 / 8819 ti = "16/27435/8819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27435/8819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27435 ÷ 216
    27435 ÷ 65536     		x = 0.418624877929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8819 ÷ 216
    8819 ÷ 65536     		y = 0.134567260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418624877929688 × 2 - 1) × π
    -0.162750244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51129497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134567260742188 × 2 - 1) × π
    0.730865478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29608161800145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51129497} λ = -0.51129497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29608161800145))-π/2
    2×atan(9.93517626831052)-π/2
    2×1.47048170934069-π/2
    2.94096341868138-1.57079632675     		φ = 1.37016709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51129497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.295044°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37016709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.504791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27435 KachelY 8819 -0.51129497 1.37016709 -29.295044 78.504791
    Oben rechts KachelX + 1 27436 KachelY 8819 -0.51119910 1.37016709 -29.289551 78.504791
    Unten links KachelX 27435 KachelY + 1 8820 -0.51129497 1.37014798 -29.295044 78.503697
    Unten rechts KachelX + 1 27436 KachelY + 1 8820 -0.51119910 1.37014798 -29.289551 78.503697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37016709-1.37014798) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dl = 121.749809999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37016709-1.37014798) × R
    1.91099999999889e-05 × 6371000     		dr = 121.749809999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51129497--0.51119910) × cos(1.37016709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199285985376131 × 6371000     		do = 121.721442600137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51129497--0.51119910) × cos(1.37014798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.199304712019393 × 6371000     		du = 121.732880604815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37016709)-sin(1.37014798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199285985376131-0.199304712019393)×R²
    abs(-0.51119910--0.51129497)×1.87266432628286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.87266432628286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.87266432628286e-05×40589641000000     		ar = 14820.2587974584m²