Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27434 / 8812
↖ ↑ ↗
← N 78.512452°
W 29.300537°		 ← 121.65 m → N 78.512452°
W 29.295044°		 →
↑
121.62 m
↓
↑
121.62 m
↓
N 78.511358°
W 29.300537°		 ← 121.67 m →
14 797 m²		 N 78.511358°
W 29.295044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418617248535156 y=0.134468078613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418617248535156 × 216)
    floor (0.418617248535156 × 65536)
    floor (27434.5)     		tx = 27434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134468078613281 × 216)
    floor (0.134468078613281 × 65536)
    floor (8812.5)     		ty = 8812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27434 / 8812 ti = "16/27434/8812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27434/8812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27434 ÷ 216
    27434 ÷ 65536     		x = 0.418609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8812 ÷ 216
    8812 ÷ 65536     		y = 0.13446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.16278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51139085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13446044921875 × 2 - 1) × π
    0.7310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.29675273459613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51139085} λ = -0.51139085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29675273459613))-π/2
    2×atan(9.94184616786505)-π/2
    2×1.47054855942125-π/2
    2.94109711884251-1.57079632675     		φ = 1.37030079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51139085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.300537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37030079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.512452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27434 KachelY 8812 -0.51139085 1.37030079 -29.300537 78.512452
    Oben rechts KachelX + 1 27435 KachelY 8812 -0.51129497 1.37030079 -29.295044 78.512452
    Unten links KachelX 27434 KachelY + 1 8813 -0.51139085 1.37028170 -29.300537 78.511358
    Unten rechts KachelX + 1 27435 KachelY + 1 8813 -0.51129497 1.37028170 -29.295044 78.511358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37030079-1.37028170) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dl = 121.622389999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37030079-1.37028170) × R
    1.90899999998884e-05 × 6371000     		dr = 121.622389999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51139085--0.51129497) × cos(1.37030079) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19915496543366 × 6371000     		do = 121.65410538442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51139085--0.51129497) × cos(1.37028170) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.199173672986672 × 6371000     		du = 121.665532920865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37030079)-sin(1.37028170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19915496543366-0.199173672986672)×R²
    abs(-0.51129497--0.51139085)×1.8707553012226e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.8707553012226e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.8707553012226e-05×40589641000000     		ar = 14796.5579725992m²