Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27434 / 8420
↖ ↑ ↗
← N 78.933492°
W 29.300537°		 ← 117.25 m → N 78.933492°
W 29.295044°		 →
↑
117.23 m
↓
↑
117.23 m
↓
N 78.932437°
W 29.300537°		 ← 117.26 m →
13 746 m²		 N 78.932437°
W 29.295044°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418617248535156 y=0.128486633300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418617248535156 × 216)
    floor (0.418617248535156 × 65536)
    floor (27434.5)     		tx = 27434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128486633300781 × 216)
    floor (0.128486633300781 × 65536)
    floor (8420.5)     		ty = 8420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27434 / 8420 ti = "16/27434/8420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27434/8420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27434 ÷ 216
    27434 ÷ 65536     		x = 0.418609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8420 ÷ 216
    8420 ÷ 65536     		y = 0.12847900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418609619140625 × 2 - 1) × π
    -0.16278076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51139085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12847900390625 × 2 - 1) × π
    0.7430419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33433526389825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51139085} λ = -0.51139085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33433526389825))-π/2
    2×atan(10.3225958460977)-π/2
    2×1.47422282277452-π/2
    2.94844564554905-1.57079632675     		φ = 1.37764932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51139085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.300537°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37764932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.933492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27434 KachelY 8420 -0.51139085 1.37764932 -29.300537 78.933492
    Oben rechts KachelX + 1 27435 KachelY 8420 -0.51129497 1.37764932 -29.295044 78.933492
    Unten links KachelX 27434 KachelY + 1 8421 -0.51139085 1.37763092 -29.300537 78.932437
    Unten rechts KachelX + 1 27435 KachelY + 1 8421 -0.51129497 1.37763092 -29.295044 78.932437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37764932-1.37763092) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dl = 117.226399999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37764932-1.37763092) × R
    1.8399999999863e-05 × 6371000     		dr = 117.226399999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51139085--0.51129497) × cos(1.37764932) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.191948328680444 × 6371000     		do = 117.251920657899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51139085--0.51129497) × cos(1.37763092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.19196638650056 × 6371000     		du = 117.262951304042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37764932)-sin(1.37763092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191948328680444-0.19196638650056)×R²
    abs(-0.51129497--0.51139085)×1.80578201160186e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.80578201160186e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.80578201160186e-05×40589641000000     		ar = 13745.6670935154m²