Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27433 / 7157
↖ ↑ ↗
← N 80.189015°
W 29.306030°		 ← 104.08 m → N 80.189015°
W 29.300537°		 →
↑
104.10 m
↓
↑
104.10 m
↓
N 80.188079°
W 29.306030°		 ← 104.09 m →
10 835 m²		 N 80.188079°
W 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418601989746094 y=0.109214782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418601989746094 × 216)
    floor (0.418601989746094 × 65536)
    floor (27433.5)     		tx = 27433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109214782714844 × 216)
    floor (0.109214782714844 × 65536)
    floor (7157.5)     		ty = 7157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27433 / 7157 ti = "16/27433/7157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27433/7157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27433 ÷ 216
    27433 ÷ 65536     		x = 0.418594360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7157 ÷ 216
    7157 ÷ 65536     		y = 0.109207153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418594360351562 × 2 - 1) × π
    -0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109207153320312 × 2 - 1) × π
    0.781585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45542387233852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51148672} λ = -0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45542387233852))-π/2
    2×atan(11.6513711962954)-π/2
    2×1.4851793324467-π/2
    2.9703586648934-1.57079632675     		φ = 1.39956234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39956234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.189015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27433 KachelY 7157 -0.51148672 1.39956234 -29.306030 80.189015
    Oben rechts KachelX + 1 27434 KachelY 7157 -0.51139085 1.39956234 -29.300537 80.189015
    Unten links KachelX 27433 KachelY + 1 7158 -0.51148672 1.39954600 -29.306030 80.188079
    Unten rechts KachelX + 1 27434 KachelY + 1 7158 -0.51139085 1.39954600 -29.300537 80.188079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39956234-1.39954600) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dl = 104.102139999669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39956234-1.39954600) × R
    1.63399999999481e-05 × 6371000     		dr = 104.102139999669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51148672--0.51139085) × cos(1.39956234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170398418537013 × 6371000     		do = 104.077270069746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51148672--0.51139085) × cos(1.39954600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.170414519545813 × 6371000     		du = 104.087104369006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39956234)-sin(1.39954600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170398418537013-0.170414519545813)×R²
    abs(-0.51139085--0.51148672)×1.61010088003399e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.61010088003399e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.61010088003399e-05×40589641000000     		ar = 10835.178425258m²