Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27433 / 21333
↖ ↑ ↗
← N 53.051120°
W 29.306030°		 ← 367.15 m → N 53.051120°
W 29.300537°		 →
↑
367.22 m
↓
↑
367.22 m
↓
N 53.047818°
W 29.306030°		 ← 367.17 m →
134 830 m²		 N 53.047818°
W 29.300537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418601989746094 y=0.325523376464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418601989746094 × 216)
    floor (0.418601989746094 × 65536)
    floor (27433.5)     		tx = 27433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325523376464844 × 216)
    floor (0.325523376464844 × 65536)
    floor (21333.5)     		ty = 21333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27433 / 21333 ti = "16/27433/21333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27433/21333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27433 ÷ 216
    27433 ÷ 65536     		x = 0.418594360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21333 ÷ 216
    21333 ÷ 65536     		y = 0.325515747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418594360351562 × 2 - 1) × π
    -0.162811279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51148672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325515747070312 × 2 - 1) × π
    0.348968505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09631689431068
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51148672} λ = -0.51148672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09631689431068))-π/2
    2×atan(2.99312171413705)-π/2
    2×1.2483565216618-π/2
    2.4967130433236-1.57079632675     		φ = 0.92591672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51148672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.306030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92591672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.051120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27433 KachelY 21333 -0.51148672 0.92591672 -29.306030 53.051120
    Oben rechts KachelX + 1 27434 KachelY 21333 -0.51139085 0.92591672 -29.300537 53.051120
    Unten links KachelX 27433 KachelY + 1 21334 -0.51148672 0.92585908 -29.306030 53.047818
    Unten rechts KachelX + 1 27434 KachelY + 1 21334 -0.51139085 0.92585908 -29.300537 53.047818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92591672-0.92585908) × R
    5.7640000000081e-05 × 6371000     		dl = 367.224440000516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92591672-0.92585908) × R
    5.7640000000081e-05 × 6371000     		dr = 367.224440000516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51148672--0.51139085) × cos(0.92591672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601102227975091 × 6371000     		do = 367.14588936693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51148672--0.51139085) × cos(0.92585908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.601148291258752 × 6371000     		du = 367.174024257235m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92591672)-sin(0.92585908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601102227975091-0.601148291258752)×R²
    abs(-0.51139085--0.51148672)×4.60632836605246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60632836605246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60632836605246e-05×40589641000000     		ar = 134830.109568223m²