Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27432 / 8425
↖ ↑ ↗
← N 78.928218°
W 29.311523°		 ← 117.29 m → N 78.928218°
W 29.306030°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
N 78.927163°
W 29.311523°		 ← 117.31 m →
13 758 m²		 N 78.927163°
W 29.306030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418586730957031 y=0.128562927246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418586730957031 × 216)
    floor (0.418586730957031 × 65536)
    floor (27432.5)     		tx = 27432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128562927246094 × 216)
    floor (0.128562927246094 × 65536)
    floor (8425.5)     		ty = 8425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27432 / 8425 ti = "16/27432/8425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27432/8425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27432 ÷ 216
    27432 ÷ 65536     		x = 0.4185791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8425 ÷ 216
    8425 ÷ 65536     		y = 0.128555297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4185791015625 × 2 - 1) × π
    -0.162841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51158259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128555297851562 × 2 - 1) × π
    0.742889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33385589490205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51158259} λ = -0.51158259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33385589490205))-π/2
    2×atan(10.3176486995378)-π/2
    2×1.47417680491165-π/2
    2.94835360982331-1.57079632675     		φ = 1.37755728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51158259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.311523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37755728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.928218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27432 KachelY 8425 -0.51158259 1.37755728 -29.311523 78.928218
    Oben rechts KachelX + 1 27433 KachelY 8425 -0.51148672 1.37755728 -29.306030 78.928218
    Unten links KachelX 27432 KachelY + 1 8426 -0.51158259 1.37753887 -29.311523 78.927163
    Unten rechts KachelX + 1 27433 KachelY + 1 8426 -0.51148672 1.37753887 -29.306030 78.927163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37755728-1.37753887) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37755728-1.37753887) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51158259--0.51148672) × cos(1.37755728) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192038656386537 × 6371000     		do = 117.294862688126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51158259--0.51148672) × cos(1.37753887) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192056723695328 × 6371000     		du = 117.305897979373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37755728)-sin(1.37753887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192038656386537-0.192056723695328)×R²
    abs(-0.51148672--0.51158259)×1.80673087912808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80673087912808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80673087912808e-05×40589641000000     		ar = 13758.1745126655m²