Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27431 / 8424
↖ ↑ ↗
← N 78.929273°
W 29.317017°		 ← 117.30 m → N 78.929273°
W 29.311523°		 →
↑
117.29 m
↓
↑
117.29 m
↓
N 78.928218°
W 29.317017°		 ← 117.31 m →
13 758 m²		 N 78.928218°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418571472167969 y=0.128547668457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418571472167969 × 216)
    floor (0.418571472167969 × 65536)
    floor (27431.5)     		tx = 27431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128547668457031 × 216)
    floor (0.128547668457031 × 65536)
    floor (8424.5)     		ty = 8424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27431 / 8424 ti = "16/27431/8424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27431/8424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27431 ÷ 216
    27431 ÷ 65536     		x = 0.418563842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8424 ÷ 216
    8424 ÷ 65536     		y = 0.1285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418563842773438 × 2 - 1) × π
    -0.162872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51167847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1285400390625 × 2 - 1) × π
    0.742919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33395176870129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51167847} λ = -0.51167847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33395176870129))-π/2
    2×atan(10.3186379391382)-π/2
    2×1.47418601021624-π/2
    2.94837202043247-1.57079632675     		φ = 1.37757569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51167847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.317017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37757569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.929273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27431 KachelY 8424 -0.51167847 1.37757569 -29.317017 78.929273
    Oben rechts KachelX + 1 27432 KachelY 8424 -0.51158259 1.37757569 -29.311523 78.929273
    Unten links KachelX 27431 KachelY + 1 8425 -0.51167847 1.37755728 -29.317017 78.928218
    Unten rechts KachelX + 1 27432 KachelY + 1 8425 -0.51158259 1.37755728 -29.311523 78.928218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37757569-1.37755728) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dl = 117.290110000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37757569-1.37755728) × R
    1.84100000000242e-05 × 6371000     		dr = 117.290110000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51167847--0.51158259) × cos(1.37757569) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.192020589012658 × 6371000     		do = 117.296060988913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51167847--0.51158259) × cos(1.37755728) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.192038656386537 × 6371000     		du = 117.307097470986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37757569)-sin(1.37755728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192020589012658-0.192038656386537)×R²
    abs(-0.51158259--0.51167847)×1.80673738785775e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.80673738785775e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.80673738785775e-05×40589641000000     		ar = 13758.3151315056m²