Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27431 / 7138
↖ ↑ ↗
← N 80.206784°
W 29.317017°		 ← 103.90 m → N 80.206784°
W 29.311523°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
N 80.205849°
W 29.317017°		 ← 103.91 m →
10 797 m²		 N 80.205849°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418571472167969 y=0.108924865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418571472167969 × 216)
    floor (0.418571472167969 × 65536)
    floor (27431.5)     		tx = 27431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108924865722656 × 216)
    floor (0.108924865722656 × 65536)
    floor (7138.5)     		ty = 7138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27431 / 7138 ti = "16/27431/7138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27431/7138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27431 ÷ 216
    27431 ÷ 65536     		x = 0.418563842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7138 ÷ 216
    7138 ÷ 65536     		y = 0.108917236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418563842773438 × 2 - 1) × π
    -0.162872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51167847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108917236328125 × 2 - 1) × π
    0.78216552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45724547452408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51167847} λ = -0.51167847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45724547452408))-π/2
    2×atan(11.6726147022655)-π/2
    2×1.48533439230684-π/2
    2.97066878461368-1.57079632675     		φ = 1.39987246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51167847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.317017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39987246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.206784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27431 KachelY 7138 -0.51167847 1.39987246 -29.317017 80.206784
    Oben rechts KachelX + 1 27432 KachelY 7138 -0.51158259 1.39987246 -29.311523 80.206784
    Unten links KachelX 27431 KachelY + 1 7139 -0.51167847 1.39985615 -29.317017 80.205849
    Unten rechts KachelX + 1 27432 KachelY + 1 7139 -0.51158259 1.39985615 -29.311523 80.205849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39987246-1.39985615) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dl = 103.911010000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39987246-1.39985615) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dr = 103.911010000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51167847--0.51158259) × cos(1.39987246) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.170092825776082 × 6371000     		do = 103.901454362754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51167847--0.51158259) × cos(1.39985615) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.170108898084861 × 6371000     		du = 103.911272156359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39987246)-sin(1.39985615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170092825776082-0.170108898084861)×R²
    abs(-0.51158259--0.51167847)×1.60723087792858e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.60723087792858e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.60723087792858e-05×40589641000000     		ar = 10797.0151519061m²