Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27431 / 7133
↖ ↑ ↗
← N 80.211455°
W 29.317017°		 ← 103.85 m → N 80.211455°
W 29.311523°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
N 80.210521°
W 29.317017°		 ← 103.86 m →
10 785 m²		 N 80.210521°
W 29.311523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27431 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418571472167969 y=0.108848571777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418571472167969 × 216)
    floor (0.418571472167969 × 65536)
    floor (27431.5)     		tx = 27431
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108848571777344 × 216)
    floor (0.108848571777344 × 65536)
    floor (7133.5)     		ty = 7133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27431 / 7133 ti = "16/27431/7133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27431/7133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27431 ÷ 216
    27431 ÷ 65536     		x = 0.418563842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7133 ÷ 216
    7133 ÷ 65536     		y = 0.108840942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418563842773438 × 2 - 1) × π
    -0.162872314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51167847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108840942382812 × 2 - 1) × π
    0.782318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.45772484352028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51167847} λ = -0.51167847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45772484352028))-π/2
    2×atan(11.6782115332248)-π/2
    2×1.48537515129319-π/2
    2.97075030258638-1.57079632675     		φ = 1.39995398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51167847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.317017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39995398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.211455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27431 KachelY 7133 -0.51167847 1.39995398 -29.317017 80.211455
    Oben rechts KachelX + 1 27432 KachelY 7133 -0.51158259 1.39995398 -29.311523 80.211455
    Unten links KachelX 27431 KachelY + 1 7134 -0.51167847 1.39993768 -29.317017 80.210521
    Unten rechts KachelX + 1 27432 KachelY + 1 7134 -0.51158259 1.39993768 -29.311523 80.210521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39995398-1.39993768) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39995398-1.39993768) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51167847--0.51158259) × cos(1.39995398) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.170012493116817 × 6371000     		do = 103.85238303895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51167847--0.51158259) × cos(1.39993768) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.170028555797316 × 6371000     		du = 103.862194951105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39995398)-sin(1.39993768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170012493116817-0.170028555797316)×R²
    abs(-0.51158259--0.51167847)×1.60626804989739e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.60626804989739e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.60626804989739e-05×40589641000000     		ar = 10785.2990477817m²