Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27430 / 7082
↖ ↑ ↗
← N 80.258969°
W 29.322510°		 ← 103.34 m → N 80.258969°
W 29.317017°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
N 80.258039°
W 29.322510°		 ← 103.35 m →
10 680 m²		 N 80.258039°
W 29.317017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27430 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418556213378906 y=0.108070373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418556213378906 × 216)
    floor (0.418556213378906 × 65536)
    floor (27430.5)     		tx = 27430
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108070373535156 × 216)
    floor (0.108070373535156 × 65536)
    floor (7082.5)     		ty = 7082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27430 / 7082 ti = "16/27430/7082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27430/7082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27430 ÷ 216
    27430 ÷ 65536     		x = 0.418548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7082 ÷ 216
    7082 ÷ 65536     		y = 0.108062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418548583984375 × 2 - 1) × π
    -0.16290283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51177434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108062744140625 × 2 - 1) × π
    0.78387451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46261440728152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51177434} λ = -0.51177434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46261440728152))-π/2
    2×atan(11.7354527213106)-π/2
    2×1.48578979496047-π/2
    2.97157958992094-1.57079632675     		φ = 1.40078326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51177434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.322510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40078326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.258969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27430 KachelY 7082 -0.51177434 1.40078326 -29.322510 80.258969
    Oben rechts KachelX + 1 27431 KachelY 7082 -0.51167847 1.40078326 -29.317017 80.258969
    Unten links KachelX 27430 KachelY + 1 7083 -0.51177434 1.40076704 -29.322510 80.258039
    Unten rechts KachelX + 1 27431 KachelY + 1 7083 -0.51167847 1.40076704 -29.317017 80.258039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40078326-1.40076704) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dl = 103.337620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40078326-1.40076704) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dr = 103.337620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51177434--0.51167847) × cos(1.40078326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169195227486555 × 6371000     		do = 103.342375691153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51177434--0.51167847) × cos(1.40076704) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169211213613358 × 6371000     		du = 103.352139821894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40078326)-sin(1.40076704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169195227486555-0.169211213613358)×R²
    abs(-0.51167847--0.51177434)×1.598612680348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.598612680348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.598612680348e-05×40589641000000     		ar = 10679.6596503252m²