Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2743 / 1064
↖ ↑ ↗
← N 82.563390°
W119.729004°		 ← 316.23 m → N 82.563390°
W119.707031°		 →
↑
316.26 m
↓
↑
316.26 m
↓
N 82.560545°
W119.729004°		 ← 316.35 m →
100 029 m²		 N 82.560545°
W119.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2743 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.167449951171875 y=0.064971923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.167449951171875 × 214)
    floor (0.167449951171875 × 16384)
    floor (2743.5)     		tx = 2743
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.064971923828125 × 214)
    floor (0.064971923828125 × 16384)
    floor (1064.5)     		ty = 1064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2743 / 1064 ti = "14/2743/1064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2743/1064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2743 ÷ 214
    2743 ÷ 16384     		x = 0.16741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1064 ÷ 214
    1064 ÷ 16384     		y = 0.06494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.6651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.08966533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06494140625 × 2 - 1) × π
    0.8701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.73355376393408
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.08966533} λ = -2.08966533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.73355376393408))-π/2
    2×atan(15.3874734169397)-π/2
    2×1.50589965926103-π/2
    3.01179931852205-1.57079632675     		φ = 1.44100299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.08966533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44100299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.563390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2743 KachelY 1064 -2.08966533 1.44100299 -119.729004 82.563390
    Oben rechts KachelX + 1 2744 KachelY 1064 -2.08928183 1.44100299 -119.707031 82.563390
    Unten links KachelX 2743 KachelY + 1 1065 -2.08966533 1.44095335 -119.729004 82.560545
    Unten rechts KachelX + 1 2744 KachelY + 1 1065 -2.08928183 1.44095335 -119.707031 82.560545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44100299-1.44095335) × R
    4.9640000000073e-05 × 6371000     		dl = 316.256440000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44100299-1.44095335) × R
    4.9640000000073e-05 × 6371000     		dr = 316.256440000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.08966533--2.08928183) × cos(1.44100299) × R
    0.00038349999999987 × 0.129429220493824 × 6371000     		do = 316.231631704211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.08966533--2.08928183) × cos(1.44095335) × R
    0.00038349999999987 × 0.129478442795577 × 6371000     		du = 316.351895495806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44100299)-sin(1.44095335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129429220493824-0.129478442795577)×R²
    abs(-2.08928183--2.08966533)×4.92223017533044e-05×R²
    0.00038349999999987×4.92223017533044e-05×6371000²
    0.00038349999999987×4.92223017533044e-05×40589641000000     		ar = 100029.307177254m²