Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27429 / 7081
↖ ↑ ↗
← N 80.259898°
W 29.328003°		 ← 103.33 m → N 80.259898°
W 29.322510°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
N 80.258969°
W 29.328003°		 ← 103.34 m →
10 679 m²		 N 80.258969°
W 29.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418540954589844 y=0.108055114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418540954589844 × 216)
    floor (0.418540954589844 × 65536)
    floor (27429.5)     		tx = 27429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108055114746094 × 216)
    floor (0.108055114746094 × 65536)
    floor (7081.5)     		ty = 7081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27429 / 7081 ti = "16/27429/7081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27429/7081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27429 ÷ 216
    27429 ÷ 65536     		x = 0.418533325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7081 ÷ 216
    7081 ÷ 65536     		y = 0.108047485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418533325195312 × 2 - 1) × π
    -0.162933349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51187021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108047485351562 × 2 - 1) × π
    0.783905029296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46271028108076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51187021} λ = -0.51187021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46271028108076))-π/2
    2×atan(11.7365778976854)-π/2
    2×1.48579790527177-π/2
    2.97159581054354-1.57079632675     		φ = 1.40079948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51187021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.328003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40079948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.259898°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27429 KachelY 7081 -0.51187021 1.40079948 -29.328003 80.259898
    Oben rechts KachelX + 1 27430 KachelY 7081 -0.51177434 1.40079948 -29.322510 80.259898
    Unten links KachelX 27429 KachelY + 1 7082 -0.51187021 1.40078326 -29.328003 80.258969
    Unten rechts KachelX + 1 27430 KachelY + 1 7082 -0.51177434 1.40078326 -29.322510 80.258969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40079948-1.40078326) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dl = 103.337620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40079948-1.40078326) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dr = 103.337620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51187021--0.51177434) × cos(1.40079948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169179241315238 × 6371000     		do = 103.332611533224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51187021--0.51177434) × cos(1.40078326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169195227486555 × 6371000     		du = 103.342375691153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40079948)-sin(1.40078326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169179241315238-0.169195227486555)×R²
    abs(-0.51177434--0.51187021)×1.59861713167897e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59861713167897e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59861713167897e-05×40589641000000     		ar = 10678.6506467902m²