Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27429 / 21308
↖ ↑ ↗
← N 53.133590°
W 29.328003°		 ← 366.44 m → N 53.133590°
W 29.322510°		 →
↑
366.52 m
↓
↑
366.52 m
↓
N 53.130294°
W 29.328003°		 ← 366.47 m →
134 315 m²		 N 53.130294°
W 29.322510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418540954589844 y=0.325141906738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418540954589844 × 216)
    floor (0.418540954589844 × 65536)
    floor (27429.5)     		tx = 27429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325141906738281 × 216)
    floor (0.325141906738281 × 65536)
    floor (21308.5)     		ty = 21308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27429 / 21308 ti = "16/27429/21308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27429/21308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27429 ÷ 216
    27429 ÷ 65536     		x = 0.418533325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21308 ÷ 216
    21308 ÷ 65536     		y = 0.32513427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418533325195312 × 2 - 1) × π
    -0.162933349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51187021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32513427734375 × 2 - 1) × π
    0.3497314453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09871373929169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51187021} λ = -0.51187021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09871373929169))-π/2
    2×atan(3.0003043673096)-π/2
    2×1.24907620635027-π/2
    2.49815241270055-1.57079632675     		φ = 0.92735609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51187021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.328003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92735609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.133590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27429 KachelY 21308 -0.51187021 0.92735609 -29.328003 53.133590
    Oben rechts KachelX + 1 27430 KachelY 21308 -0.51177434 0.92735609 -29.322510 53.133590
    Unten links KachelX 27429 KachelY + 1 21309 -0.51187021 0.92729856 -29.328003 53.130294
    Unten rechts KachelX + 1 27430 KachelY + 1 21309 -0.51177434 0.92729856 -29.322510 53.130294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92735609-0.92729856) × R
    5.75299999999723e-05 × 6371000     		dl = 366.523629999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92735609-0.92729856) × R
    5.75299999999723e-05 × 6371000     		dr = 366.523629999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51187021--0.51177434) × cos(0.92735609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5999513012897 × 6371000     		do = 366.442917423326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51187021--0.51177434) × cos(0.92729856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.599997326397939 × 6371000     		du = 366.471028996551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92735609)-sin(0.92729856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5999513012897-0.599997326397939)×R²
    abs(-0.51177434--0.51187021)×4.6025108239256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.6025108239256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.6025108239256e-05×40589641000000     		ar = 134315.140096637m²