Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27428 / 21519
↖ ↑ ↗
← N 52.432572°
W 29.333496°		 ← 372.43 m → N 52.432572°
W 29.328003°		 →
↑
372.45 m
↓
↑
372.45 m
↓
N 52.429222°
W 29.333496°		 ← 372.46 m →
138 717 m²		 N 52.429222°
W 29.328003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418525695800781 y=0.328361511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418525695800781 × 216)
    floor (0.418525695800781 × 65536)
    floor (27428.5)     		tx = 27428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328361511230469 × 216)
    floor (0.328361511230469 × 65536)
    floor (21519.5)     		ty = 21519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27428 / 21519 ti = "16/27428/21519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27428/21519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27428 ÷ 216
    27428 ÷ 65536     		x = 0.41851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21519 ÷ 216
    21519 ÷ 65536     		y = 0.328353881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.1629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51196609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328353881835938 × 2 - 1) × π
    0.343292236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07848436765202
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51196609} λ = -0.51196609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07848436765202))-π/2
    2×atan(2.94021987994811)-π/2
    2×1.24295866787562-π/2
    2.48591733575124-1.57079632675     		φ = 0.91512101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51196609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.333496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91512101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.432572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27428 KachelY 21519 -0.51196609 0.91512101 -29.333496 52.432572
    Oben rechts KachelX + 1 27429 KachelY 21519 -0.51187021 0.91512101 -29.328003 52.432572
    Unten links KachelX 27428 KachelY + 1 21520 -0.51196609 0.91506255 -29.333496 52.429222
    Unten rechts KachelX + 1 27429 KachelY + 1 21520 -0.51187021 0.91506255 -29.328003 52.429222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91512101-0.91506255) × R
    5.84599999999824e-05 × 6371000     		dl = 372.448659999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91512101-0.91506255) × R
    5.84599999999824e-05 × 6371000     		dr = 372.448659999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51196609--0.51187021) × cos(0.91512101) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.609694662969337 × 6371000     		do = 372.432887223108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51196609--0.51187021) × cos(0.91506255) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.60974099944977 × 6371000     		du = 372.461191930758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91512101)-sin(0.91506255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609694662969337-0.60974099944977)×R²
    abs(-0.51187021--0.51196609)×4.63364804331734e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.63364804331734e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.63364804331734e-05×40589641000000     		ar = 138717.400850595m²