Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27427 / 7071
↖ ↑ ↗
← N 80.269188°
W 29.338989°		 ← 103.24 m → N 80.269188°
W 29.333496°		 →
↑
103.27 m
↓
↑
103.27 m
↓
N 80.268259°
W 29.338989°		 ← 103.24 m →
10 662 m²		 N 80.268259°
W 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418510437011719 y=0.107902526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418510437011719 × 216)
    floor (0.418510437011719 × 65536)
    floor (27427.5)     		tx = 27427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107902526855469 × 216)
    floor (0.107902526855469 × 65536)
    floor (7071.5)     		ty = 7071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27427 / 7071 ti = "16/27427/7071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27427/7071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27427 ÷ 216
    27427 ÷ 65536     		x = 0.418502807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7071 ÷ 216
    7071 ÷ 65536     		y = 0.107894897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418502807617188 × 2 - 1) × π
    -0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107894897460938 × 2 - 1) × π
    0.784210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.46366901907317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51206196} λ = -0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46366901907317))-π/2
    2×atan(11.7478355965462)-π/2
    2×1.48587896624871-π/2
    2.97175793249742-1.57079632675     		φ = 1.40096161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40096161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.269188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27427 KachelY 7071 -0.51206196 1.40096161 -29.338989 80.269188
    Oben rechts KachelX + 1 27428 KachelY 7071 -0.51196609 1.40096161 -29.333496 80.269188
    Unten links KachelX 27427 KachelY + 1 7072 -0.51206196 1.40094540 -29.338989 80.268259
    Unten rechts KachelX + 1 27428 KachelY + 1 7072 -0.51196609 1.40094540 -29.333496 80.268259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40096161-1.40094540) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dl = 103.273910000459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40096161-1.40094540) × R
    1.6210000000072e-05 × 6371000     		dr = 103.273910000459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51206196--0.51196609) × cos(1.40096161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169019446147655 × 6371000     		do = 103.235010599159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51206196--0.51196609) × cos(1.40094540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.169035422907582 × 6371000     		du = 103.244769008726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40096161)-sin(1.40094540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169019446147655-0.169035422907582)×R²
    abs(-0.51196609--0.51206196)×1.59767599268723e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.59767599268723e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.59767599268723e-05×40589641000000     		ar = 10661.9870883628m²