Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27427 / 21252
↖ ↑ ↗
← N 53.317749°
W 29.338989°		 ← 364.87 m → N 53.317749°
W 29.333496°		 →
↑
364.87 m
↓
↑
364.87 m
↓
N 53.314468°
W 29.338989°		 ← 364.90 m →
133 134 m²		 N 53.314468°
W 29.333496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418510437011719 y=0.324287414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418510437011719 × 216)
    floor (0.418510437011719 × 65536)
    floor (27427.5)     		tx = 27427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324287414550781 × 216)
    floor (0.324287414550781 × 65536)
    floor (21252.5)     		ty = 21252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27427 / 21252 ti = "16/27427/21252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27427/21252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27427 ÷ 216
    27427 ÷ 65536     		x = 0.418502807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21252 ÷ 216
    21252 ÷ 65536     		y = 0.32427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418502807617188 × 2 - 1) × π
    -0.162994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51206196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32427978515625 × 2 - 1) × π
    0.3514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10408267204913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51206196} λ = -0.51206196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10408267204913))-π/2
    2×atan(3.0164561197475)-π/2
    2×1.25068329870342-π/2
    2.50136659740683-1.57079632675     		φ = 0.93057027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51206196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.338989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93057027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.317749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27427 KachelY 21252 -0.51206196 0.93057027 -29.338989 53.317749
    Oben rechts KachelX + 1 27428 KachelY 21252 -0.51196609 0.93057027 -29.333496 53.317749
    Unten links KachelX 27427 KachelY + 1 21253 -0.51206196 0.93051300 -29.338989 53.314468
    Unten rechts KachelX + 1 27428 KachelY + 1 21253 -0.51196609 0.93051300 -29.333496 53.314468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93057027-0.93051300) × R
    5.72699999999982e-05 × 6371000     		dl = 364.867169999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93057027-0.93051300) × R
    5.72699999999982e-05 × 6371000     		dr = 364.867169999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51206196--0.51196609) × cos(0.93057027) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597376745298232 × 6371000     		do = 364.870410110557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51206196--0.51196609) × cos(0.93051300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597422672609978 × 6371000     		du = 364.898461950881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93057027)-sin(0.93051300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597376745298232-0.597422672609978)×R²
    abs(-0.51196609--0.51206196)×4.59273117463521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59273117463521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59273117463521e-05×40589641000000     		ar = 133134.351588212m²