Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27424 / 8354
↖ ↑ ↗
← N 79.002867°
W 29.355469°		 ← 116.51 m → N 79.002867°
W 29.349976°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
N 79.001819°
W 29.355469°		 ← 116.52 m →
13 577 m²		 N 79.001819°
W 29.349976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418464660644531 y=0.127479553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418464660644531 × 216)
    floor (0.418464660644531 × 65536)
    floor (27424.5)     		tx = 27424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127479553222656 × 216)
    floor (0.127479553222656 × 65536)
    floor (8354.5)     		ty = 8354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27424 / 8354 ti = "16/27424/8354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27424/8354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27424 ÷ 216
    27424 ÷ 65536     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8354 ÷ 216
    8354 ÷ 65536     		y = 0.127471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127471923828125 × 2 - 1) × π
    0.74505615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3406629346481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3406629346481))-π/2
    2×atan(10.3881209258287)-π/2
    2×1.474828233793-π/2
    2.949656467586-1.57079632675     		φ = 1.37886014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37886014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.002867°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27424 KachelY 8354 -0.51234958 1.37886014 -29.355469 79.002867
    Oben rechts KachelX + 1 27425 KachelY 8354 -0.51225371 1.37886014 -29.349976 79.002867
    Unten links KachelX 27424 KachelY + 1 8355 -0.51234958 1.37884185 -29.355469 79.001819
    Unten rechts KachelX + 1 27425 KachelY + 1 8355 -0.51225371 1.37884185 -29.349976 79.001819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37886014-1.37884185) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dl = 116.525590000557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37886014-1.37884185) × R
    1.82900000000874e-05 × 6371000     		dr = 116.525590000557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.51225371) × cos(1.37886014) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190759883422277 × 6371000     		do = 116.51380380095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.51225371) × cos(1.37884185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.190777837526134 × 6371000     		du = 116.524769948007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37886014)-sin(1.37884185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190759883422277-0.190777837526134)×R²
    abs(-0.51225371--0.51234958)×1.79541038577147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.79541038577147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.79541038577147e-05×40589641000000     		ar = 13577.4786498481m²