Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27424 / 6432
↖ ↑ ↗
← N 80.844901°
W 29.355469°		 ← 97.18 m → N 80.844901°
W 29.349976°		 →
↑
97.16 m
↓
↑
97.16 m
↓
N 80.844027°
W 29.355469°		 ← 97.19 m →
9 442 m²		 N 80.844027°
W 29.349976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418464660644531 y=0.0981521606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418464660644531 × 216)
    floor (0.418464660644531 × 65536)
    floor (27424.5)     		tx = 27424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0981521606445312 × 216)
    floor (0.0981521606445312 × 65536)
    floor (6432.5)     		ty = 6432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27424 / 6432 ti = "16/27424/6432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27424/6432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27424 ÷ 216
    27424 ÷ 65536     		x = 0.41845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6432 ÷ 216
    6432 ÷ 65536     		y = 0.09814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41845703125 × 2 - 1) × π
    -0.1630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51234958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09814453125 × 2 - 1) × π
    0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51234958} λ = -0.51234958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5249323767876))-π/2
    2×atan(12.4900506177025)-π/2
    2×1.49090301989113-π/2
    2.98180603978225-1.57079632675     		φ = 1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51234958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.355469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27424 KachelY 6432 -0.51234958 1.41100971 -29.355469 80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 27425 KachelY 6432 -0.51225371 1.41100971 -29.349976 80.844901
    Unten links KachelX 27424 KachelY + 1 6433 -0.51234958 1.41099446 -29.355469 80.844027
    Unten rechts KachelX + 1 27425 KachelY + 1 6433 -0.51225371 1.41099446 -29.349976 80.844027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41100971-1.41099446) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dl = 97.1577500008487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41100971-1.41099446) × R
    1.52500000001332e-05 × 6371000     		dr = 97.1577500008487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51234958--0.51225371) × cos(1.41100971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 97.1809427637313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51234958--0.51225371) × cos(1.41099446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159122600982546 × 6371000     		du = 97.1901386107271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41100971)-sin(1.41099446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.159122600982546)×R²
    abs(-0.51225371--0.51234958)×1.5055715663459e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5055715663459e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5055715663459e-05×40589641000000     		ar = 9442.32846612735m²