Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27423 / 8284
↖ ↑ ↗
← N 79.075977°
W 29.360962°		 ← 115.76 m → N 79.075977°
W 29.355469°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
N 79.074935°
W 29.360962°		 ← 115.77 m →
13 401 m²		 N 79.074935°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418449401855469 y=0.126411437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418449401855469 × 216)
    floor (0.418449401855469 × 65536)
    floor (27423.5)     		tx = 27423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126411437988281 × 216)
    floor (0.126411437988281 × 65536)
    floor (8284.5)     		ty = 8284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27423 / 8284 ti = "16/27423/8284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27423/8284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27423 ÷ 216
    27423 ÷ 65536     		x = 0.418441772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8284 ÷ 216
    8284 ÷ 65536     		y = 0.12640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418441772460938 × 2 - 1) × π
    -0.163116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51244546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12640380859375 × 2 - 1) × π
    0.7471923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34737410059491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51244546} λ = -0.51244546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34737410059491))-π/2
    2×atan(10.4580717926278)-π/2
    2×1.4754662403554-π/2
    2.9509324807108-1.57079632675     		φ = 1.38013615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51244546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.360962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38013615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.075977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27423 KachelY 8284 -0.51244546 1.38013615 -29.360962 79.075977
    Oben rechts KachelX + 1 27424 KachelY 8284 -0.51234958 1.38013615 -29.355469 79.075977
    Unten links KachelX 27423 KachelY + 1 8285 -0.51244546 1.38011798 -29.360962 79.074935
    Unten rechts KachelX + 1 27424 KachelY + 1 8285 -0.51234958 1.38011798 -29.355469 79.074935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38013615-1.38011798) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38013615-1.38011798) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51244546--0.51234958) × cos(1.38013615) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189507150182418 × 6371000     		do = 115.76072315957m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51244546--0.51234958) × cos(1.38011798) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189524990898758 × 6371000     		du = 115.771621187551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38013615)-sin(1.38011798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189507150182418-0.189524990898758)×R²
    abs(-0.51234958--0.51244546)×1.78407163397842e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.78407163397842e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.78407163397842e-05×40589641000000     		ar = 13401.2159607841m²