Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27423 / 6431
↖ ↑ ↗
← N 80.845776°
W 29.360962°		 ← 97.18 m → N 80.845776°
W 29.355469°		 →
↑
97.22 m
↓
↑
97.22 m
↓
N 80.844901°
W 29.360962°		 ← 97.19 m →
9 449 m²		 N 80.844901°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27423 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418449401855469 y=0.0981369018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418449401855469 × 216)
    floor (0.418449401855469 × 65536)
    floor (27423.5)     		tx = 27423
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0981369018554688 × 216)
    floor (0.0981369018554688 × 65536)
    floor (6431.5)     		ty = 6431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27423 / 6431 ti = "16/27423/6431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27423/6431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27423 ÷ 216
    27423 ÷ 65536     		x = 0.418441772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6431 ÷ 216
    6431 ÷ 65536     		y = 0.0981292724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418441772460938 × 2 - 1) × π
    -0.163116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51244546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0981292724609375 × 2 - 1) × π
    0.803741455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52502825058684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51244546} λ = -0.51244546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52502825058684))-π/2
    2×atan(12.4912481437126)-π/2
    2×1.49091064665246-π/2
    2.98182129330492-1.57079632675     		φ = 1.41102497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51244546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.360962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41102497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.845776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27423 KachelY 6431 -0.51244546 1.41102497 -29.360962 80.845776
    Oben rechts KachelX + 1 27424 KachelY 6431 -0.51234958 1.41102497 -29.355469 80.845776
    Unten links KachelX 27423 KachelY + 1 6432 -0.51244546 1.41100971 -29.360962 80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 27424 KachelY + 1 6432 -0.51234958 1.41100971 -29.355469 80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41102497-1.41100971) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dl = 97.2214599990469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41102497-1.41100971) × R
    1.52599999998504e-05 × 6371000     		dr = 97.2214599990469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51244546--0.51234958) × cos(1.41102497) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.15909247964158 × 6371000     		do = 97.181876645978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51244546--0.51234958) × cos(1.41100971) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 97.1910795054912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41102497)-sin(1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15909247964158-0.159107545266883)×R²
    abs(-0.51234958--0.51244546)×1.50656253024573e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.50656253024573e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.50656253024573e-05×40589641000000     		ar = 9448.61129093499m²