Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27422 / 8283
↖ ↑ ↗
← N 79.077018°
W 29.366455°		 ← 115.74 m → N 79.077018°
W 29.360962°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
N 79.075977°
W 29.366455°		 ← 115.75 m →
13 399 m²		 N 79.075977°
W 29.360962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418434143066406 y=0.126396179199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418434143066406 × 216)
    floor (0.418434143066406 × 65536)
    floor (27422.5)     		tx = 27422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126396179199219 × 216)
    floor (0.126396179199219 × 65536)
    floor (8283.5)     		ty = 8283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27422 / 8283 ti = "16/27422/8283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27422/8283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27422 ÷ 216
    27422 ÷ 65536     		x = 0.418426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8283 ÷ 216
    8283 ÷ 65536     		y = 0.126388549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126388549804688 × 2 - 1) × π
    0.747222900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34746997439415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51254133} λ = -0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34746997439415))-π/2
    2×atan(10.459074495769)-π/2
    2×1.47547532431288-π/2
    2.95095064862576-1.57079632675     		φ = 1.38015432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38015432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.077018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27422 KachelY 8283 -0.51254133 1.38015432 -29.366455 79.077018
    Oben rechts KachelX + 1 27423 KachelY 8283 -0.51244546 1.38015432 -29.360962 79.077018
    Unten links KachelX 27422 KachelY + 1 8284 -0.51254133 1.38013615 -29.366455 79.075977
    Unten rechts KachelX + 1 27423 KachelY + 1 8284 -0.51244546 1.38013615 -29.360962 79.075977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38015432-1.38013615) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dl = 115.761069999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38015432-1.38013615) × R
    1.81699999999285e-05 × 6371000     		dr = 115.761069999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51254133--0.51244546) × cos(1.38015432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189489309403513 × 6371000     		do = 115.737752729409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51254133--0.51244546) × cos(1.38013615) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189507150182418 × 6371000     		du = 115.748649658972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38015432)-sin(1.38013615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189489309403513-0.189507150182418)×R²
    abs(-0.51244546--0.51254133)×1.78407789053758e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78407789053758e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78407789053758e-05×40589641000000     		ar = 13398.5568157261m²