Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27422 / 7473
↖ ↑ ↗
← N 79.888773°
W 29.366455°		 ← 107.23 m → N 79.888773°
W 29.360962°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
N 79.887808°
W 29.366455°		 ← 107.24 m →
11 498 m²		 N 79.887808°
W 29.360962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27422 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418434143066406 y=0.114036560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418434143066406 × 216)
    floor (0.418434143066406 × 65536)
    floor (27422.5)     		tx = 27422
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114036560058594 × 216)
    floor (0.114036560058594 × 65536)
    floor (7473.5)     		ty = 7473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27422 / 7473 ti = "16/27422/7473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27422/7473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27422 ÷ 216
    27422 ÷ 65536     		x = 0.418426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7473 ÷ 216
    7473 ÷ 65536     		y = 0.114028930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114028930664062 × 2 - 1) × π
    0.771942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42512775177864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51254133} λ = -0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42512775177864))-π/2
    2×atan(11.3036733914235)-π/2
    2×1.48255922410375-π/2
    2.96511844820751-1.57079632675     		φ = 1.39432212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39432212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.888773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27422 KachelY 7473 -0.51254133 1.39432212 -29.366455 79.888773
    Oben rechts KachelX + 1 27423 KachelY 7473 -0.51244546 1.39432212 -29.360962 79.888773
    Unten links KachelX 27422 KachelY + 1 7474 -0.51254133 1.39430529 -29.366455 79.887808
    Unten rechts KachelX + 1 27423 KachelY + 1 7474 -0.51244546 1.39430529 -29.360962 79.887808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39432212-1.39430529) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39432212-1.39430529) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51254133--0.51244546) × cos(1.39432212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175559638429215 × 6371000     		do = 107.229680058184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51254133--0.51244546) × cos(1.39430529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175576207014214 × 6371000     		du = 107.239799947268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39432212)-sin(1.39430529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175559638429215-0.175576207014214)×R²
    abs(-0.51244546--0.51254133)×1.65685849985719e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65685849985719e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65685849985719e-05×40589641000000     		ar = 11498.1302559815m²