Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27421 / 21268
↖ ↑ ↗
← N 53.265213°
W 29.371948°		 ← 365.32 m → N 53.265213°
W 29.366455°		 →
↑
365.31 m
↓
↑
365.31 m
↓
N 53.261927°
W 29.371948°		 ← 365.35 m →
133 461 m²		 N 53.261927°
W 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418418884277344 y=0.324531555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418418884277344 × 216)
    floor (0.418418884277344 × 65536)
    floor (27421.5)     		tx = 27421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324531555175781 × 216)
    floor (0.324531555175781 × 65536)
    floor (21268.5)     		ty = 21268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27421 / 21268 ti = "16/27421/21268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27421/21268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27421 ÷ 216
    27421 ÷ 65536     		x = 0.418411254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21268 ÷ 216
    21268 ÷ 65536     		y = 0.32452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418411254882812 × 2 - 1) × π
    -0.163177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51263720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32452392578125 × 2 - 1) × π
    0.3509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51263720} λ = -0.51263720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10254869126129))-π/2
    2×atan(3.01183248120545)-π/2
    2×1.25022483460108-π/2
    2.50044966920216-1.57079632675     		φ = 0.92965334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51263720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.371948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92965334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.265213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27421 KachelY 21268 -0.51263720 0.92965334 -29.371948 53.265213
    Oben rechts KachelX + 1 27422 KachelY 21268 -0.51254133 0.92965334 -29.366455 53.265213
    Unten links KachelX 27421 KachelY + 1 21269 -0.51263720 0.92959600 -29.371948 53.261927
    Unten rechts KachelX + 1 27422 KachelY + 1 21269 -0.51254133 0.92959600 -29.366455 53.261927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92965334-0.92959600) × R
    5.73400000000168e-05 × 6371000     		dl = 365.313140000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92965334-0.92959600) × R
    5.73400000000168e-05 × 6371000     		dr = 365.313140000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51263720--0.51254133) × cos(0.92965334) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598111835928641 × 6371000     		do = 365.319394477453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51263720--0.51254133) × cos(0.92959600) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.598157787946571 × 6371000     		du = 365.347461408011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92965334)-sin(0.92959600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598111835928641-0.598157787946571)×R²
    abs(-0.51254133--0.51263720)×4.59520179291184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59520179291184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59520179291184e-05×40589641000000     		ar = 133461.10174537m²