Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27420 / 21269
↖ ↑ ↗
← N 53.261927°
W 29.377442°		 ← 365.39 m → N 53.261927°
W 29.371948°		 →
↑
365.38 m
↓
↑
365.38 m
↓
N 53.258642°
W 29.377442°		 ← 365.41 m →
133 509 m²		 N 53.258642°
W 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418403625488281 y=0.324546813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418403625488281 × 216)
    floor (0.418403625488281 × 65536)
    floor (27420.5)     		tx = 27420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324546813964844 × 216)
    floor (0.324546813964844 × 65536)
    floor (21269.5)     		ty = 21269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27420 / 21269 ti = "16/27420/21269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27420/21269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27420 ÷ 216
    27420 ÷ 65536     		x = 0.41839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21269 ÷ 216
    21269 ÷ 65536     		y = 0.324539184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324539184570312 × 2 - 1) × π
    0.350921630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10245281746205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51273308} λ = -0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10245281746205))-π/2
    2×atan(3.01154373922442)-π/2
    2×1.25019616187264-π/2
    2.50039232374527-1.57079632675     		φ = 0.92959600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92959600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.261927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27420 KachelY 21269 -0.51273308 0.92959600 -29.377442 53.261927
    Oben rechts KachelX + 1 27421 KachelY 21269 -0.51263720 0.92959600 -29.371948 53.261927
    Unten links KachelX 27420 KachelY + 1 21270 -0.51273308 0.92953865 -29.377442 53.258642
    Unten rechts KachelX + 1 27421 KachelY + 1 21270 -0.51263720 0.92953865 -29.371948 53.258642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92959600-0.92953865) × R
    5.7349999999956e-05 × 6371000     		dl = 365.37684999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92959600-0.92953865) × R
    5.7349999999956e-05 × 6371000     		dr = 365.37684999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51273308--0.51263720) × cos(0.92959600) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.598157787946571 × 6371000     		do = 365.385570040449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51273308--0.51263720) × cos(0.92953865) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.598203746011272 × 6371000     		du = 365.41364359229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92959600)-sin(0.92953865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598157787946571-0.598203746011272)×R²
    abs(-0.51263720--0.51273308)×4.59580647012015e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59580647012015e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59580647012015e-05×40589641000000     		ar = 133508.557366156m²