Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27420 / 21260
↖ ↑ ↗
← N 53.291489°
W 29.377442°		 ← 365.13 m → N 53.291489°
W 29.371948°		 →
↑
365.12 m
↓
↑
365.12 m
↓
N 53.288206°
W 29.377442°		 ← 365.16 m →
133 323 m²		 N 53.288206°
W 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418403625488281 y=0.324409484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418403625488281 × 216)
    floor (0.418403625488281 × 65536)
    floor (27420.5)     		tx = 27420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324409484863281 × 216)
    floor (0.324409484863281 × 65536)
    floor (21260.5)     		ty = 21260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27420 / 21260 ti = "16/27420/21260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27420/21260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27420 ÷ 216
    27420 ÷ 65536     		x = 0.41839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21260 ÷ 216
    21260 ÷ 65536     		y = 0.32440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32440185546875 × 2 - 1) × π
    0.3511962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10331568165521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51273308} λ = -0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10331568165521))-π/2
    2×atan(3.01414341390493)-π/2
    2×1.25045413712805-π/2
    2.50090827425609-1.57079632675     		φ = 0.93011195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93011195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.291489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27420 KachelY 21260 -0.51273308 0.93011195 -29.377442 53.291489
    Oben rechts KachelX + 1 27421 KachelY 21260 -0.51263720 0.93011195 -29.371948 53.291489
    Unten links KachelX 27420 KachelY + 1 21261 -0.51273308 0.93005464 -29.377442 53.288206
    Unten rechts KachelX + 1 27421 KachelY + 1 21261 -0.51263720 0.93005464 -29.371948 53.288206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93011195-0.93005464) × R
    5.73099999999771e-05 × 6371000     		dl = 365.122009999854m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93011195-0.93005464) × R
    5.73099999999771e-05 × 6371000     		dr = 365.122009999854m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51273308--0.51263720) × cos(0.93011195) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.597744237188836 × 6371000     		do = 365.132951948032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51273308--0.51263720) × cos(0.93005464) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.597790180881325 × 6371000     		du = 365.161016720585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93011195)-sin(0.93005464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597744237188836-0.597790180881325)×R²
    abs(-0.51263720--0.51273308)×4.59436924885592e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.59436924885592e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.59436924885592e-05×40589641000000     		ar = 133323.200901836m²