Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27418 / 8296
↖ ↑ ↗
← N 79.063478°
W 29.388428°		 ← 115.89 m → N 79.063478°
W 29.382934°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 79.062436°
W 29.388428°		 ← 115.90 m →
13 431 m²		 N 79.062436°
W 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418373107910156 y=0.126594543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418373107910156 × 216)
    floor (0.418373107910156 × 65536)
    floor (27418.5)     		tx = 27418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126594543457031 × 216)
    floor (0.126594543457031 × 65536)
    floor (8296.5)     		ty = 8296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27418 / 8296 ti = "16/27418/8296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27418/8296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27418 ÷ 216
    27418 ÷ 65536     		x = 0.418365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8296 ÷ 216
    8296 ÷ 65536     		y = 0.1265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.16326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51292483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1265869140625 × 2 - 1) × π
    0.746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34622361500403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51292483} λ = -0.51292483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34622361500403))-π/2
    2×atan(10.4460468503098)-π/2
    2×1.47535716614006-π/2
    2.95071433228011-1.57079632675     		φ = 1.37991801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51292483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.388428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37991801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.063478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27418 KachelY 8296 -0.51292483 1.37991801 -29.388428 79.063478
    Oben rechts KachelX + 1 27419 KachelY 8296 -0.51282895 1.37991801 -29.382934 79.063478
    Unten links KachelX 27418 KachelY + 1 8297 -0.51292483 1.37989982 -29.388428 79.062436
    Unten rechts KachelX + 1 27419 KachelY + 1 8297 -0.51282895 1.37989982 -29.382934 79.062436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37991801-1.37989982) × R
    1.8189999999807e-05 × 6371000     		dl = 115.88848999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37991801-1.37989982) × R
    1.8189999999807e-05 × 6371000     		dr = 115.88848999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51292483--0.51282895) × cos(1.37991801) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189721332831283 × 6371000     		do = 115.89155694762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51292483--0.51282895) × cos(1.37989982) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189739192432722 × 6371000     		du = 115.902466511591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37991801)-sin(1.37989982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189721332831283-0.189739192432722)×R²
    abs(-0.51282895--0.51292483)×1.78596014391574e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.78596014391574e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.78596014391574e-05×40589641000000     		ar = 13431.1296850773m²