Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27418 / 8277
↖ ↑ ↗
← N 79.083261°
W 29.388428°		 ← 115.68 m → N 79.083261°
W 29.382934°		 →
↑
115.63 m
↓
↑
115.63 m
↓
N 79.082221°
W 29.388428°		 ← 115.70 m →
13 378 m²		 N 79.082221°
W 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418373107910156 y=0.126304626464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418373107910156 × 216)
    floor (0.418373107910156 × 65536)
    floor (27418.5)     		tx = 27418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126304626464844 × 216)
    floor (0.126304626464844 × 65536)
    floor (8277.5)     		ty = 8277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27418 / 8277 ti = "16/27418/8277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27418/8277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27418 ÷ 216
    27418 ÷ 65536     		x = 0.418365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8277 ÷ 216
    8277 ÷ 65536     		y = 0.126296997070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.16326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51292483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126296997070312 × 2 - 1) × π
    0.747406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34804521718959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51292483} λ = -0.51292483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34804521718959))-π/2
    2×atan(10.4650927338278)-π/2
    2×1.47552981010347-π/2
    2.95105962020694-1.57079632675     		φ = 1.38026329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51292483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.388428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38026329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.083261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27418 KachelY 8277 -0.51292483 1.38026329 -29.388428 79.083261
    Oben rechts KachelX + 1 27419 KachelY 8277 -0.51282895 1.38026329 -29.382934 79.083261
    Unten links KachelX 27418 KachelY + 1 8278 -0.51292483 1.38024514 -29.388428 79.082221
    Unten rechts KachelX + 1 27419 KachelY + 1 8278 -0.51282895 1.38024514 -29.382934 79.082221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38026329-1.38024514) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dl = 115.633650000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38026329-1.38024514) × R
    1.81500000000501e-05 × 6371000     		dr = 115.633650000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51292483--0.51282895) × cos(1.38026329) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189382312511704 × 6371000     		do = 115.684465883655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51292483--0.51282895) × cos(1.38024514) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.189400134027708 × 6371000     		du = 115.695352183082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38026329)-sin(1.38024514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189382312511704-0.189400134027708)×R²
    abs(-0.51282895--0.51292483)×1.78215160034356e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.78215160034356e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.78215160034356e-05×40589641000000     		ar = 13377.6464499676m²