Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27416 / 9433
↖ ↑ ↗
← N 77.812891°
W 29.399414°		 ← 128.94 m → N 77.812891°
W 29.393921°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 77.811731°
W 29.399414°		 ← 128.95 m →
16 628 m²		 N 77.811731°
W 29.393921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418342590332031 y=0.143943786621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418342590332031 × 216)
    floor (0.418342590332031 × 65536)
    floor (27416.5)     		tx = 27416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143943786621094 × 216)
    floor (0.143943786621094 × 65536)
    floor (9433.5)     		ty = 9433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27416 / 9433 ti = "16/27416/9433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27416/9433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27416 ÷ 216
    27416 ÷ 65536     		x = 0.4183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9433 ÷ 216
    9433 ÷ 65536     		y = 0.143936157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143936157226562 × 2 - 1) × π
    0.712127685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23721510526802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51311657} λ = -0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23721510526802))-π/2
    2×atan(9.36720824047599)-π/2
    2×1.46444373622935-π/2
    2.92888747245871-1.57079632675     		φ = 1.35809115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35809115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.812891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27416 KachelY 9433 -0.51311657 1.35809115 -29.399414 77.812891
    Oben rechts KachelX + 1 27417 KachelY 9433 -0.51302070 1.35809115 -29.393921 77.812891
    Unten links KachelX 27416 KachelY + 1 9434 -0.51311657 1.35807091 -29.399414 77.811731
    Unten rechts KachelX + 1 27417 KachelY + 1 9434 -0.51302070 1.35807091 -29.393921 77.811731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35809115-1.35807091) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35809115-1.35807091) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51311657--0.51302070) × cos(1.35809115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211104880402004 × 6371000     		do = 128.940279136854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51311657--0.51302070) × cos(1.35807091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211124664218301 × 6371000     		du = 128.952362849892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35809115)-sin(1.35807091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211104880402004-0.211124664218301)×R²
    abs(-0.51302070--0.51311657)×1.97838162966091e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97838162966091e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97838162966091e-05×40589641000000     		ar = 16627.5043040194m²