Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27415 / 9431
↖ ↑ ↗
← N 77.815210°
W 29.404907°		 ← 128.93 m → N 77.815210°
W 29.399414°		 →
↑
128.95 m
↓
↑
128.95 m
↓
N 77.814050°
W 29.404907°		 ← 128.94 m →
16 626 m²		 N 77.814050°
W 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418327331542969 y=0.143913269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418327331542969 × 216)
    floor (0.418327331542969 × 65536)
    floor (27415.5)     		tx = 27415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143913269042969 × 216)
    floor (0.143913269042969 × 65536)
    floor (9431.5)     		ty = 9431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27415 / 9431 ti = "16/27415/9431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27415/9431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27415 ÷ 216
    27415 ÷ 65536     		x = 0.418319702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9431 ÷ 216
    9431 ÷ 65536     		y = 0.143905639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418319702148438 × 2 - 1) × π
    -0.163360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51321245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143905639648438 × 2 - 1) × π
    0.712188720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.2374068528665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51321245} λ = -0.51321245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2374068528665))-π/2
    2×atan(9.36900455237431)-π/2
    2×1.4644639737601-π/2
    2.92892794752019-1.57079632675     		φ = 1.35813162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51321245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.404907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35813162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.815210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27415 KachelY 9431 -0.51321245 1.35813162 -29.404907 77.815210
    Oben rechts KachelX + 1 27416 KachelY 9431 -0.51311657 1.35813162 -29.399414 77.815210
    Unten links KachelX 27415 KachelY + 1 9432 -0.51321245 1.35811138 -29.404907 77.814050
    Unten rechts KachelX + 1 27416 KachelY + 1 9432 -0.51311657 1.35811138 -29.399414 77.814050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35813162-1.35811138) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dl = 128.94904000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35813162-1.35811138) × R
    2.02400000000047e-05 × 6371000     		dr = 128.94904000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51321245--0.51311657) × cos(1.35813162) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211065322284696 × 6371000     		do = 128.929564494349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51321245--0.51311657) × cos(1.35811138) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.211085106273904 × 6371000     		du = 128.941649573436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35813162)-sin(1.35811138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211065322284696-0.211085106273904)×R²
    abs(-0.51311657--0.51321245)×1.97839892072116e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.97839892072116e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.97839892072116e-05×40589641000000     		ar = 16626.1227496688m²