Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27414 / 8298
↖ ↑ ↗
← N 79.061393°
W 29.410400°		 ← 115.90 m → N 79.061393°
W 29.404907°		 →
↑
115.89 m
↓
↑
115.89 m
↓
N 79.060351°
W 29.410400°		 ← 115.91 m →
13 432 m²		 N 79.060351°
W 29.404907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418312072753906 y=0.126625061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418312072753906 × 216)
    floor (0.418312072753906 × 65536)
    floor (27414.5)     		tx = 27414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126625061035156 × 216)
    floor (0.126625061035156 × 65536)
    floor (8298.5)     		ty = 8298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27414 / 8298 ti = "16/27414/8298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27414/8298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27414 ÷ 216
    27414 ÷ 65536     		x = 0.418304443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8298 ÷ 216
    8298 ÷ 65536     		y = 0.126617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418304443359375 × 2 - 1) × π
    -0.16339111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51330832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126617431640625 × 2 - 1) × π
    0.74676513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34603186740555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51330832} λ = -0.51330832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34603186740555))-π/2
    2×atan(10.444044037936)-π/2
    2×1.47533897512235-π/2
    2.95067795024469-1.57079632675     		φ = 1.37988162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51330832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.410400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37988162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.061393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27414 KachelY 8298 -0.51330832 1.37988162 -29.410400 79.061393
    Oben rechts KachelX + 1 27415 KachelY 8298 -0.51321245 1.37988162 -29.404907 79.061393
    Unten links KachelX 27414 KachelY + 1 8299 -0.51330832 1.37986343 -29.410400 79.060351
    Unten rechts KachelX + 1 27415 KachelY + 1 8299 -0.51321245 1.37986343 -29.404907 79.060351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37988162-1.37986343) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dl = 115.888490000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37988162-1.37986343) × R
    1.8190000000029e-05 × 6371000     		dr = 115.888490000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51330832--0.51321245) × cos(1.37988162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.189757061789692 × 6371000     		do = 115.901292612276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51330832--0.51321245) × cos(1.37986343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.18977492126553 × 6371000     		du = 115.912200961696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37988162)-sin(1.37986343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189757061789692-0.18977492126553)×R²
    abs(-0.51321245--0.51330832)×1.78594758386275e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.78594758386275e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.78594758386275e-05×40589641000000     		ar = 13432.2578664546m²