Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 27413 / 9428
↖ ↑ ↗
← N 77.818688°
W 29.415893°		 ← 128.88 m → N 77.818688°
W 29.410400°		 →
↑
128.89 m
↓
↑
128.89 m
↓
N 77.817529°
W 29.415893°		 ← 128.89 m →
16 612 m²		 N 77.817529°
W 29.410400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418296813964844 y=0.143867492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418296813964844 × 216)
    floor (0.418296813964844 × 65536)
    floor (27413.5)     		tx = 27413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143867492675781 × 216)
    floor (0.143867492675781 × 65536)
    floor (9428.5)     		ty = 9428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27413 / 9428 ti = "16/27413/9428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27413/9428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27413 ÷ 216
    27413 ÷ 65536     		x = 0.418289184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9428 ÷ 216
    9428 ÷ 65536     		y = 0.14385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418289184570312 × 2 - 1) × π
    -0.163421630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51340419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14385986328125 × 2 - 1) × π
    0.7122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23769447426422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51340419} λ = -0.51340419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23769447426422))-π/2
    2×atan(9.37169966612653)-π/2
    2×1.46449432294507-π/2
    2.92898864589013-1.57079632675     		φ = 1.35819232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51340419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.415893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35819232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.818688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27413 KachelY 9428 -0.51340419 1.35819232 -29.415893 77.818688
    Oben rechts KachelX + 1 27414 KachelY 9428 -0.51330832 1.35819232 -29.410400 77.818688
    Unten links KachelX 27413 KachelY + 1 9429 -0.51340419 1.35817209 -29.415893 77.817529
    Unten rechts KachelX + 1 27414 KachelY + 1 9429 -0.51330832 1.35817209 -29.410400 77.817529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35819232-1.35817209) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dl = 128.885329999002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35819232-1.35817209) × R
    2.02299999998434e-05 × 6371000     		dr = 128.885329999002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51340419--0.51330832) × cos(1.35819232) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211005989348016 × 6371000     		do = 128.879877690515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51340419--0.51330832) × cos(1.35817209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.211025763821702 × 6371000     		du = 128.891955697201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35819232)-sin(1.35817209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211005989348016-0.211025763821702)×R²
    abs(-0.51330832--0.51340419)×1.97744736858685e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.97744736858685e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.97744736858685e-05×40589641000000     		ar = 16611.5039059047m²