Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27412 / 8282
↖ ↑ ↗
← N 79.078059°
W 29.421387°		 ← 115.74 m → N 79.078059°
W 29.415893°		 →
↑
115.76 m
↓
↑
115.76 m
↓
N 79.077018°
W 29.421387°		 ← 115.75 m →
13 399 m²		 N 79.077018°
W 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418281555175781 y=0.126380920410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418281555175781 × 216)
    floor (0.418281555175781 × 65536)
    floor (27412.5)     		tx = 27412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126380920410156 × 216)
    floor (0.126380920410156 × 65536)
    floor (8282.5)     		ty = 8282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27412 / 8282 ti = "16/27412/8282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27412/8282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27412 ÷ 216
    27412 ÷ 65536     		x = 0.41827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8282 ÷ 216
    8282 ÷ 65536     		y = 0.126373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126373291015625 × 2 - 1) × π
    0.74725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34756584819339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51350007} λ = -0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34756584819339))-π/2
    2×atan(10.4600772950478)-π/2
    2×1.47548440741526-π/2
    2.95096881483052-1.57079632675     		φ = 1.38017249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38017249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.078059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27412 KachelY 8282 -0.51350007 1.38017249 -29.421387 79.078059
    Oben rechts KachelX + 1 27413 KachelY 8282 -0.51340419 1.38017249 -29.415893 79.078059
    Unten links KachelX 27412 KachelY + 1 8283 -0.51350007 1.38015432 -29.421387 79.077018
    Unten rechts KachelX + 1 27413 KachelY + 1 8283 -0.51340419 1.38015432 -29.415893 79.077018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38017249-1.38015432) × R
    1.81700000001506e-05 × 6371000     		dl = 115.761070000959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38017249-1.38015432) × R
    1.81700000001506e-05 × 6371000     		dr = 115.761070000959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51350007--0.51340419) × cos(1.38017249) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189471468562047 × 6371000     		do = 115.738926988824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51350007--0.51340419) × cos(1.38015432) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.189489309403513 × 6371000     		du = 115.749825093238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38017249)-sin(1.38015432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189471468562047-0.189489309403513)×R²
    abs(-0.51340419--0.51350007)×1.78408414652775e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.78408414652775e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.78408414652775e-05×40589641000000     		ar = 13398.6928174497m²