Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27412 / 7472
↖ ↑ ↗
← N 79.889737°
W 29.421387°		 ← 107.23 m → N 79.889737°
W 29.415893°		 →
↑
107.22 m
↓
↑
107.22 m
↓
N 79.888773°
W 29.421387°		 ← 107.24 m →
11 498 m²		 N 79.888773°
W 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418281555175781 y=0.114021301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418281555175781 × 216)
    floor (0.418281555175781 × 65536)
    floor (27412.5)     		tx = 27412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114021301269531 × 216)
    floor (0.114021301269531 × 65536)
    floor (7472.5)     		ty = 7472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27412 / 7472 ti = "16/27412/7472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27412/7472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27412 ÷ 216
    27412 ÷ 65536     		x = 0.41827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7472 ÷ 216
    7472 ÷ 65536     		y = 0.114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114013671875 × 2 - 1) × π
    0.77197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42522362557788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51350007} λ = -0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42522362557788))-π/2
    2×atan(11.3047571694891)-π/2
    2×1.4825676394913-π/2
    2.96513527898261-1.57079632675     		φ = 1.39433895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39433895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.889737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27412 KachelY 7472 -0.51350007 1.39433895 -29.421387 79.889737
    Oben rechts KachelX + 1 27413 KachelY 7472 -0.51340419 1.39433895 -29.415893 79.889737
    Unten links KachelX 27412 KachelY + 1 7473 -0.51350007 1.39432212 -29.421387 79.888773
    Unten rechts KachelX + 1 27413 KachelY + 1 7473 -0.51340419 1.39432212 -29.415893 79.888773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39433895-1.39432212) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dl = 107.223930000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39433895-1.39432212) × R
    1.68300000000787e-05 × 6371000     		dr = 107.223930000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51350007--0.51340419) × cos(1.39433895) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.17554306979449 × 6371000     		do = 107.230743987637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51350007--0.51340419) × cos(1.39432212) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.175559638429215 × 6371000     		du = 107.240864962681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39433895)-sin(1.39432212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17554306979449-0.175559638429215)×R²
    abs(-0.51340419--0.51350007)×1.65686347256278e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.65686347256278e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.65686347256278e-05×40589641000000     		ar = 11498.2443928325m²