Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27411 / 5858
↖ ↑ ↗
← N 81.333189°
W 29.426880°		 ← 92.04 m → N 81.333189°
W 29.421387°		 →
↑
92.06 m
↓
↑
92.06 m
↓
N 81.332361°
W 29.426880°		 ← 92.05 m →
8 474 m²		 N 81.332361°
W 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27411 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418266296386719 y=0.0893936157226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418266296386719 × 216)
    floor (0.418266296386719 × 65536)
    floor (27411.5)     		tx = 27411
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0893936157226562 × 216)
    floor (0.0893936157226562 × 65536)
    floor (5858.5)     		ty = 5858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27411 / 5858 ti = "16/27411/5858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27411/5858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27411 ÷ 216
    27411 ÷ 65536     		x = 0.418258666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5858 ÷ 216
    5858 ÷ 65536     		y = 0.089385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418258666992188 × 2 - 1) × π
    -0.163482666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51359594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089385986328125 × 2 - 1) × π
    0.82122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57996393755142
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51359594} λ = -0.51359594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57996393755142))-π/2
    2×atan(13.1966622471234)-π/2
    2×1.49516413201587-π/2
    2.99032826403173-1.57079632675     		φ = 1.41953194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51359594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.426880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41953194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.333189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27411 KachelY 5858 -0.51359594 1.41953194 -29.426880 81.333189
    Oben rechts KachelX + 1 27412 KachelY 5858 -0.51350007 1.41953194 -29.421387 81.333189
    Unten links KachelX 27411 KachelY + 1 5859 -0.51359594 1.41951749 -29.426880 81.332361
    Unten rechts KachelX + 1 27412 KachelY + 1 5859 -0.51350007 1.41951749 -29.421387 81.332361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41953194-1.41951749) × R
    1.44499999998882e-05 × 6371000     		dl = 92.0609499992875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41953194-1.41951749) × R
    1.44499999998882e-05 × 6371000     		dr = 92.0609499992875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51359594--0.51350007) × cos(1.41953194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1506882017832 × 6371000     		do = 92.0385107324686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51359594--0.51350007) × cos(1.41951749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15070248676783 × 6371000     		du = 92.0472358263757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41953194)-sin(1.41951749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1506882017832-0.15070248676783)×R²
    abs(-0.51350007--0.51359594)×1.42849846307136e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.42849846307136e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.42849846307136e-05×40589641000000     		ar = 8473.55435491439m²