Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27409 / 5896
↖ ↑ ↗
← N 81.301678°
W 29.437866°		 ← 92.37 m → N 81.301678°
W 29.432373°		 →
↑
92.38 m
↓
↑
92.38 m
↓
N 81.300847°
W 29.437866°		 ← 92.38 m →
8 534 m²		 N 81.300847°
W 29.432373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418235778808594 y=0.0899734497070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418235778808594 × 216)
    floor (0.418235778808594 × 65536)
    floor (27409.5)     		tx = 27409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0899734497070312 × 216)
    floor (0.0899734497070312 × 65536)
    floor (5896.5)     		ty = 5896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27409 / 5896 ti = "16/27409/5896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27409/5896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27409 ÷ 216
    27409 ÷ 65536     		x = 0.418228149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5896 ÷ 216
    5896 ÷ 65536     		y = 0.0899658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418228149414062 × 2 - 1) × π
    -0.163543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51378769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0899658203125 × 2 - 1) × π
    0.820068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5763207331803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51378769} λ = -0.51378769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5763207331803))-π/2
    2×atan(13.1486715825214)-π/2
    2×1.49488914316381-π/2
    2.98977828632761-1.57079632675     		φ = 1.41898196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51378769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.437866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41898196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.301678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27409 KachelY 5896 -0.51378769 1.41898196 -29.437866 81.301678
    Oben rechts KachelX + 1 27410 KachelY 5896 -0.51369182 1.41898196 -29.432373 81.301678
    Unten links KachelX 27409 KachelY + 1 5897 -0.51378769 1.41896746 -29.437866 81.300847
    Unten rechts KachelX + 1 27410 KachelY + 1 5897 -0.51369182 1.41896746 -29.432373 81.300847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41898196-1.41896746) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dl = 92.3795000001808m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41898196-1.41896746) × R
    1.45000000000284e-05 × 6371000     		dr = 92.3795000001808m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51378769--0.51369182) × cos(1.41898196) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151231878931244 × 6371000     		do = 92.3705820853225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51378769--0.51369182) × cos(1.41896746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151246212140913 × 6371000     		du = 92.3793366344932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41898196)-sin(1.41896746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151231878931244-0.151246212140913)×R²
    abs(-0.51369182--0.51378769)×1.43332096690374e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43332096690374e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43332096690374e-05×40589641000000     		ar = 8533.55255841135m²