Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27409 / 21456
↖ ↑ ↗
← N 52.643064°
W 29.437866°		 ← 370.61 m → N 52.643064°
W 29.432373°		 →
↑
370.66 m
↓
↑
370.66 m
↓
N 52.639730°
W 29.437866°		 ← 370.64 m →
137 378 m²		 N 52.639730°
W 29.432373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418235778808594 y=0.327400207519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418235778808594 × 216)
    floor (0.418235778808594 × 65536)
    floor (27409.5)     		tx = 27409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327400207519531 × 216)
    floor (0.327400207519531 × 65536)
    floor (21456.5)     		ty = 21456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27409 / 21456 ti = "16/27409/21456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27409/21456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27409 ÷ 216
    27409 ÷ 65536     		x = 0.418228149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21456 ÷ 216
    21456 ÷ 65536     		y = 0.327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418228149414062 × 2 - 1) × π
    -0.163543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51378769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327392578125 × 2 - 1) × π
    0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51378769} λ = -0.51378769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08452441700415))-π/2
    2×atan(2.95803269411325)-π/2
    2×1.24479555604101-π/2
    2.48959111208203-1.57079632675     		φ = 0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51378769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.437866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27409 KachelY 21456 -0.51378769 0.91879479 -29.437866 52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 27410 KachelY 21456 -0.51369182 0.91879479 -29.432373 52.643064
    Unten links KachelX 27409 KachelY + 1 21457 -0.51378769 0.91873661 -29.437866 52.639730
    Unten rechts KachelX + 1 27410 KachelY + 1 21457 -0.51369182 0.91873661 -29.432373 52.639730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91879479-0.91873661) × R
    5.81800000000188e-05 × 6371000     		dl = 370.66478000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91879479-0.91873661) × R
    5.81800000000188e-05 × 6371000     		dr = 370.66478000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51378769--0.51369182) × cos(0.91879479) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 370.612937871343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51378769--0.51369182) × cos(0.91873661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606824828015646 × 6371000     		du = 370.641183484302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91879479)-sin(0.91873661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.606824828015646)×R²
    abs(-0.51369182--0.51378769)×4.62445620993401e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62445620993401e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62445620993401e-05×40589641000000     		ar = 137378.397947222m²