Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27408 / 21261
↖ ↑ ↗
← N 53.288206°
W 29.443359°		 ← 365.12 m → N 53.288206°
W 29.437866°		 →
↑
365.19 m
↓
↑
365.19 m
↓
N 53.284921°
W 29.443359°		 ← 365.15 m →
133 343 m²		 N 53.284921°
W 29.437866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418220520019531 y=0.324424743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418220520019531 × 216)
    floor (0.418220520019531 × 65536)
    floor (27408.5)     		tx = 27408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324424743652344 × 216)
    floor (0.324424743652344 × 65536)
    floor (21261.5)     		ty = 21261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27408 / 21261 ti = "16/27408/21261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27408/21261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27408 ÷ 216
    27408 ÷ 65536     		x = 0.418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21261 ÷ 216
    21261 ÷ 65536     		y = 0.324417114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324417114257812 × 2 - 1) × π
    0.351165771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10321980785597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51388356} λ = -0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10321980785597))-π/2
    2×atan(3.01385445037662)-π/2
    2×1.25042548202125-π/2
    2.50085096404251-1.57079632675     		φ = 0.93005464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93005464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.288206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27408 KachelY 21261 -0.51388356 0.93005464 -29.443359 53.288206
    Oben rechts KachelX + 1 27409 KachelY 21261 -0.51378769 0.93005464 -29.437866 53.288206
    Unten links KachelX 27408 KachelY + 1 21262 -0.51388356 0.92999732 -29.443359 53.284921
    Unten rechts KachelX + 1 27409 KachelY + 1 21262 -0.51378769 0.92999732 -29.437866 53.284921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93005464-0.92999732) × R
    5.73200000000273e-05 × 6371000     		dl = 365.185720000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93005464-0.92999732) × R
    5.73200000000273e-05 × 6371000     		dr = 365.185720000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51388356--0.51378769) × cos(0.93005464) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597790180881325 × 6371000     		do = 365.122931508393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51388356--0.51378769) × cos(0.92999732) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597836130626593 × 6371000     		du = 365.150997050837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93005464)-sin(0.92999732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597790180881325-0.597836130626593)×R²
    abs(-0.51378769--0.51388356)×4.59497452681701e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59497452681701e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59497452681701e-05×40589641000000     		ar = 133342.805235591m²