Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27407 / 21458
↖ ↑ ↗
← N 52.636397°
W 29.448853°		 ← 370.71 m → N 52.636397°
W 29.443359°		 →
↑
370.73 m
↓
↑
370.73 m
↓
N 52.633063°
W 29.448853°		 ← 370.74 m →
137 437 m²		 N 52.633063°
W 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418205261230469 y=0.327430725097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418205261230469 × 216)
    floor (0.418205261230469 × 65536)
    floor (27407.5)     		tx = 27407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327430725097656 × 216)
    floor (0.327430725097656 × 65536)
    floor (21458.5)     		ty = 21458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27407 / 21458 ti = "16/27407/21458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27407/21458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27407 ÷ 216
    27407 ÷ 65536     		x = 0.418197631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21458 ÷ 216
    21458 ÷ 65536     		y = 0.327423095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418197631835938 × 2 - 1) × π
    -0.163604736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51397944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327423095703125 × 2 - 1) × π
    0.34515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08433266940567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51397944} λ = -0.51397944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08433266940567))-π/2
    2×atan(2.95746555282366)-π/2
    2×1.24473737743917-π/2
    2.48947475487834-1.57079632675     		φ = 0.91867843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51397944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.448853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91867843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.636397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27407 KachelY 21458 -0.51397944 0.91867843 -29.448853 52.636397
    Oben rechts KachelX + 1 27408 KachelY 21458 -0.51388356 0.91867843 -29.443359 52.636397
    Unten links KachelX 27407 KachelY + 1 21459 -0.51397944 0.91862024 -29.448853 52.633063
    Unten rechts KachelX + 1 27408 KachelY + 1 21459 -0.51388356 0.91862024 -29.443359 52.633063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91867843-0.91862024) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dl = 370.72849000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91867843-0.91862024) × R
    5.8190000000069e-05 × 6371000     		dr = 370.72849000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51397944--0.51388356) × cos(0.91867843) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.606871070523697 × 6371000     		do = 370.708091598341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51397944--0.51388356) × cos(0.91862024) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.606917318925192 × 6371000     		du = 370.736342502842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91867843)-sin(0.91862024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606871070523697-0.606917318925192)×R²
    abs(-0.51388356--0.51397944)×4.62484014949194e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.62484014949194e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.62484014949194e-05×40589641000000     		ar = 137437.287775434m²