Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 27406 / 9552
↖ ↑ ↗
← N 77.674122°
W 29.454346°		 ← 130.39 m → N 77.674122°
W 29.448853°		 →
↑
130.41 m
↓
↑
130.41 m
↓
N 77.672950°
W 29.454346°		 ← 130.40 m →
17 005 m²		 N 77.672950°
W 29.448853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 27406 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418190002441406 y=0.145759582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418190002441406 × 216)
    floor (0.418190002441406 × 65536)
    floor (27406.5)     		tx = 27406
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145759582519531 × 216)
    floor (0.145759582519531 × 65536)
    floor (9552.5)     		ty = 9552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 27406 / 9552 ti = "16/27406/9552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/27406/9552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 27406 ÷ 216
    27406 ÷ 65536     		x = 0.418182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9552 ÷ 216
    9552 ÷ 65536     		y = 0.145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.16363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51407531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    0.70849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22580612315845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51407531} λ = -0.51407531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22580612315845))-π/2
    2×atan(9.26094525811588)-π/2
    2×1.46323275166081-π/2
    2.92646550332162-1.57079632675     		φ = 1.35566918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51407531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.454346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35566918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.674122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 27406 KachelY 9552 -0.51407531 1.35566918 -29.454346 77.674122
    Oben rechts KachelX + 1 27407 KachelY 9552 -0.51397944 1.35566918 -29.448853 77.674122
    Unten links KachelX 27406 KachelY + 1 9553 -0.51407531 1.35564871 -29.454346 77.672950
    Unten rechts KachelX + 1 27407 KachelY + 1 9553 -0.51397944 1.35564871 -29.448853 77.672950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35566918-1.35564871) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dl = 130.414369999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35566918-1.35564871) × R
    2.04699999999391e-05 × 6371000     		dr = 130.414369999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51407531--0.51397944) × cos(1.35566918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213471645993141 × 6371000     		do = 130.385870614377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51407531--0.51397944) × cos(1.35564871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.213491644099764 × 6371000     		du = 130.398085213326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35566918)-sin(1.35564871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213471645993141-0.213491644099764)×R²
    abs(-0.51397944--0.51407531)×1.99981066235089e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.99981066235089e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.99981066235089e-05×40589641000000     		ar = 17004.9876535864m²